Os limites de tempo de execução nos algoritmos de NP completam problemas assumindo P ≠ NP

Suponha . $P\neq NP$

O que podemos dizer sobre os limites de tempo de execução de todos os problemas de NP-complete?

ou seja, quais são as funções mais restritas para as quais podemos garantir que um algoritmo ideal para qualquer problema completo de NP seja executado no tempo de pelo menos e no máximo em uma entrada de comprimento ? $L,U:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ $\omega(L(n))$ $o(U(n))$ $n$

Obviamente, $\forall c:L(n)=\Omega(n^c)$ . Além disso, $U(n) = O(2^{n^{\omega(1)}})$ .

Sem assumir $QP\neq NP$ , $ETH$ , ou qualquer outro pressuposto de que não está implícita $P\neq NP$ , podemos dar quaisquer melhores limitantes em $L,U$ ?

EDITAR:

Observe que pelo menos um de $L,U$ deve estar longe dos limites que eu dei aqui, já que, como problemas de NPC, esses problemas têm redução de tempo de polietileno entre si, o que significa que se algum problema de NPC tiver um algoritmo ideal de tempo $f(n)$ , todos os problemas possuem um algoritmo (ideal ou não) do tempo de execução $O(f(n^{O(1)}))$ .

— RB
fonte

se P

NP, podemos dizer que os limites de tempo de execução são maiores que qualquer polinômio .... não, limites melhores não são conhecidos ... muitas notações não indicam que ... existem superpolinômios, mas subexponenciais funções eg

\neq

$\neq$

2^{\log n}

$2^{\log n}$

— vzn 12/03/2014

Em primeiro lugar,

é linear, por isso acho que quer dizer

, que é conhecido como a classe

. Percebo perfeitamente que

não significa que nenhuma função NP-completa seja executada em tempo exponencial, mas não é isso que estou perguntando. Por exemplo, assumindo

, é possível que um problema de NPC possa ser resolvido em

2^{\log n}

$2^{\log n}$

2^{p o l y l o g (n)}

$2^{polylog(n)}$

Q P

$QP$

P \neq N P

$P\neq NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

, onde

é a função inversa de Ackermann? As notações são apenas uma ferramenta usada para expressar a minha pergunta formalmente ..

2^{l o g (n) \cdot l o g^{*} (n)}

$2^{log(n)\cdot log^*(n)}$

l o g^{*} (n)

$log^*(n)$

— RB

thx para a correção. muito pouco se sabe nesta área. tente esta pergunta NTime (n ^ k) =? DTime (n ^ k) tcs.se

— vzn

@RB Embora seja verdade que em cada "mundo possível" existem limites inferior e superior que estão aproximadamente dentro de um polinômio um do outro, não está claro quais limites a priori são possíveis.

— Yuval Filmus 16/03

Minha interpretação da questão é que se pergunta sobre as possibilidades nos mundos relativizados . Suponha-se que em alguns mundo relativizada, . Podemos deduzir algo não trivial sobre a complexidade do tempo dos problemas de NP-completo? O argumento de Baker-Gill-Solovay mostra que podemos "forçar" algum problema de PN a exigir tempo exponencial, de modo que o limite superior fornecido na pergunta é essencialmente ideal. $P \neq NP$

Em relação ao limite inferior, esboçamos abaixo uma prova de que, em relação a algum oráculo, . Supondo que a prova esboçada esteja correta, também podemos aplicá-la a funções menores que , e isso mostra que o limite inferior fornecido na pergunta também é essencialmente rígido. $NP = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$ $2^{O(\log^2 n)}$

Esboço de prova. Construímos dois oráculos : o primeiro se comporta como um problema completo e o segundo implementa a diagonalização de Baker-Gill-Solovay. É simples empacotar os dois oráculos em um único oráculo. $O_1,O_2$ $\mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$

O oráculo consiste de todos os pares tal que é uma máquina do Oracle Turing que aceita em tempo de execução $O_1$ $\langle M, x \rangle$ $M$ $x$ quando recebe acesso aos oráculosrestringe-se a entradas de comprimento no máximo $2^{2^{\sqrt{\log |x|}}}$ $O_1,O_2$ . (Esta não é uma definição circular.) $2^{\sqrt{\log |x|}}$

O oráculo é definido da mesma maneira que o oráculo é definido em Baker – Gill – Solovay: para cada máquina de Turing oráculo com clock funcionando no tempo , encontramos algum comprimento de entrada que é "intacto", executado em de passos, e para cada consulta para de tamanho , marcamos que esta entrada não está em (por outras consultas também assinalar que a entrada não está presente, a menos que já tinha decidido que está em $O_2$ $M$ $T = 2^{o(\log^2 n)}$ $n$ $M$ $1^n$ $T$ $O_2$ $n$ $O_2$ ) Consultas para são tratados da mesma forma (como consultas implícitos para de tamanho menor, manipulados de forma recursiva); observe que essas consultas nunca mencionam cadeias de comprimento em , pois $O_2$ $O_1$ $O_1,O_2$ $n$ $O_2$ . Se a máquina aceita, nós marcamos todas as outras cadeias de comprimentoemcomo desaparecidas, caso contrário, nós escolhemos alguns cadeia de comprimentoe colocá-lo em. $2^{\sqrt{\log T}} < n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$

A classe consiste em todos os programas em execução no tempo $P^{O_1,O_2}$ , fazendo consultas parade tamanho $2^{2^{O(\sqrt{\log n})}}$ $O_1,O_2$ . A classetem a forma, onde, e por isso está contido na classe de todos os programas de execução em tempo dee fazer consultas da Oracle de tamanho $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $NP^{O_1,O_2}$ $x \mapsto \exists |y|<n^C \varphi(x,y)$ $\varphi \in P^{O_1,O_2}$ $2^{n^C}$ . O último está contido em, pois podemos usarpara decidir isso. Isto mostra que a. $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $\mathrm{TIME}(2^{\log^2 n^C})^{O_1,O_2}$ $O_1$ $NP^{O_1,O_2} \subseteq \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

Para a outra direção, seja a linguagem que consiste em para cada modo que contenha alguma sequência de comprimento . Por construção de , , ao passo que claramente . Isso mostra que $L$ $1^n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$ $L \notin \mathrm{TIME}(2^{o(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ $L \in NP^{O_1,O_2}$ . $NP^{O_1,O_2} = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

— Yuval Filmus
fonte

Devo admitir que não entendi completamente sua resposta, mas se, como você mencionou, algum problema de NP completo

é solucionável apenas em

, todos os outros problemas de NPC também são solucionáveis em

, pois há uma redução do tempo de polietileno de

, o que significa que, caso contrário, você teria um algoritmo melhor para

. Isso implica, por exemplo,

, não é? o que estou perdendo?

Π

$\Pi$

Ω (2^{n^{c}})

$\Omega(2^{n^c})$

Ω (2^{n^{Ω (1)}})

$\Omega(2^{n^{\Omega(1)}})$

Π

$\Pi$

Π

$\Pi$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

E T H

$ETH$

— RB

Bem, isso não implica

, mas parece que pode implicar

E T H

$ETH$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

— RB

Você não está perdendo nada. Existe um mundo relativizado no qual a ETH é verdadeira. Existe outro mundo relativizado em que P = NP e, portanto, em particular, o ETH é falso.

— Yuval Filmus

Mas não em todos os mundos reletivizados nos quais

é verdade, certo? Existe uma possibilidade que

. Pelo que entendi da sua resposta, se

existe um problema de NPC cujo limite inferior é exponencial, e estou me perguntando por que é verdade.

P \neq N P

$P\neq NP$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

P ⊊ Q P = N P

$P\subsetneq QP = NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

— RB

N P = T I M E (n^{O (\log n)})

$NP = \mathrm{TIME}(n^{O(\log n)})$

N P = T I M E (2^{n^{O (1)}})

$NP = \mathrm{TIME}(2^{n^{O(1)}})$

P = N P

$P=NP$

Q P

$QP$

Os limites de tempo de execução nos algoritmos de NP completam problemas assumindo P ≠ NP

Sem assumir QP≠NPQP≠NPQP\neq NP , ETHETHETH , ou qualquer outro pressuposto de que não está implícita P≠NPP≠NPP\neq NP , podemos dar quaisquer melhores limitantes em L,UL,UL,U ?

Sem assumir $QP\neq NP$ , $ETH$ , ou qualquer outro pressuposto de que não está implícita $P\neq NP$ , podemos dar quaisquer melhores limitantes em $L,U$ ?