Algoritmo para encontrar o diâmetro de uma árvore usando BFS / DFS. Por que isso funciona?

Esse link fornece um algoritmo para encontrar o diâmetro de uma árvore não direcionada usando BFS / DFS . Resumindo:

Execute o BFS em qualquer nó s no gráfico, lembrando o nó que você descobriu por último. Execute o BFS u lembrando o nó v descoberto pela última vez. d (u, v) é o diâmetro da árvore.

Por que isso funciona?

A página 2 disso fornece um raciocínio, mas é confuso. Estou citando a parte inicial da prova:

Execute o BFS em qualquer nó s no gráfico, lembrando o nó que você descobriu por último. Execute o BFS u lembrando o nó v descoberto pela última vez. d (u, v) é o diâmetro da árvore.

Correção: Seja a e b quaisquer dois nós, de modo que d (a, b) seja o diâmetro da árvore. Há um caminho único de a para b. Seja o primeiro nó nesse caminho descoberto pelo BFS. Se os caminhos de s a u e de a a b não compartilham arestas, o caminho de t a u inclui s. tão$p_1$$p_2$

$d(t,u) \ge d(s,u)$

$d(t,u) \ge d(s,a)$

.... (mais desigualdades seguem ..)

As desigualdades não fazem sentido para mim.

Todas as partes da prova da reivindicação dependem de 2 propriedades cruciais de árvores com bordas não direcionadas:

• Conexão 1 (ou seja, entre quaisquer 2 nós em uma árvore, existe exatamente um caminho)
• qualquer nó pode servir como a raiz da árvore.

Escolha um nó de árvore arbitrário . Suponha que u , v ∈ V ( G ) são nós com d ( u , v ) = d i a m ( G ) . Suponha ainda que o algoritmo encontre um nó x iniciando em s primeiro, algum nó y iniciando em x próximo. wlog d ( s , u ) ≥ d ( s , v ) . Observe que$s$$u, v \in V(G)$$d(u,v) = diam(G)$$x$$s$$y$$x$$d(s,u) \geq d(s,v)$ deve permanecer, a menos que o primeiro estágio do algoritmo não termine em x . Veremos que d ( x , y ) = d ( u , v ) .$d(s,x) \geq d(s,y)$$x$$d(x,y) = d(u,v)$

A configuração mais geral de todos os nós envolvidos pode ser vista nos pseudo gráficos a seguir (possivelmente ou s = z x y ou ambos):$s = z_{uv}$$s = z_{xy}$

(u)                                            (x)
  \                                            /
   \                                          /
    \                                        /
     ( z_uv )---------( s )----------( z_xy )
    /                                        \
   /                                          \
  /                                            \
(v)                                            (y)

nós sabemos isso:

1. . outra forma de d ( u , v ) < d i um m ( L ) contrariando a suposição.$d(z_{uv},y) \leq d(z_{uv},v)$$d(u,v) < diam(G)$
2. . outra forma de d ( u , v ) < d i um m ( L ) contrariando a suposição.$d(z_{uv},x) \leq d(z_{uv},u)$$d(u,v) < diam(G)$
3. ; caso contrário, o estágio 1 do algoritmo não teria parado em x .$d(s,z_{xy}) + d(z_{xy},x) \geq d(s,z_{uv}) + d(z_{uv},u)$$x$
4. ; caso contrário, o estágio 2 do algoritmo não teria parado em y .$d(z_{xy},y) \geq d(v,z_{uv}) + d(z_{uv},z_{xy})$$y$

1) e 2) implicam .$\, \\ d(u,v) = d(z_{uv},v) + d(z_{uv},u) \\ \qquad\geq d(z_{uv},x) + d(z_{uv},y) = d(x,y) + 2\, d(z_{uv}, z_{xy}) \\ \qquad\qquad\geq d(x,y)$

3) e 4) implicam $\, \\ d(z_{xy},y) + d(s,z_{xy}) + d(z_{xy},x) \\ \qquad\geq d(s,z_{uv}) + d(z_{uv},u) + d(v,z_{uv}) + d(z_{uv},z_{xy}) \qquad\qquad\qquad\qquad \\ \,$ equivalente a .$\, \\ d(x,y) = d(z_{xy},y) + d(z_{xy},x) \\ \qquad\geq 2*\,d(s,z_{uv}) + d(v,z_{uv}) + d(u,z_{uv}) \\ \qquad\qquad\geq d(u,v)$

portanto .$d(u,v) = d(x,y)$

provas analógicas valem para configurações alternativas

                 (u)                          (x)
                   \                          /
                    \                        /
                     \                      /
     ( s )---------( z_uv )----------( z_xy )
                     /                      \
                    /                        \
                   /                          \
                 (v)                          (y)

e

                          (x)        (u)  
                          /            \  
                         /              \ 
                        /                \
     ( s )---------( z_xy )----------( z_uv )
                        \                /          
                         \              /           
                          \            /            
                          (y)        (v)            

essas são todas as configurações possíveis. em particular, devido ao resultado do estágio 1 do algoritmo e y ∉ p a t h ( x , u ) , y A p a t h ( x , v ) devido ao estágio 2.$x \not\in path(s,u), x \not\in path(s,v)$$y \not\in path(x,u), y \not\in path(x,v)$

A intuição por trás é muito fácil de entender. Suponha que eu tenha que encontrar o caminho mais longo que exista entre dois nós na árvore especificada.

Após desenhar alguns diagramas, podemos observar que o caminho mais longo sempre ocorrerá entre dois nós de folha (nós com apenas uma aresta vinculada). Isso também pode ser comprovado pela contradição de que, se o caminho mais longo estiver entre dois nós e um ou ambos os nós não for um nó folha, podemos estender o caminho para obter um caminho mais longo.

Portanto, uma maneira é primeiro verificar quais nós são nós folha e iniciar o BFS a partir de um dos nós folha para obter o nó mais distante dele.

Em vez de primeiro descobrir quais nós são nós de folha, iniciamos o BFS a partir de um nó aleatório e, em seguida, vemos qual nó está mais distante dele. Deixe o nó mais distante seja x. É claro que x é um nó folha. Agora, se iniciarmos o BFS a partir de x e verificar o nó mais distante, obteremos nossa resposta.

Mas qual é a garantia de que x será o ponto final de um caminho máximo?

Vamos ver por um exemplo: -

       1   
    / /\ \
   6 2  4 8
         \ \
          5 9
           \
            7

Suponha que eu iniciei meu BFS a partir de 6. O nó na distância máxima de 6 é o nó 7. Usando o BFS, podemos obter esse nó. Agora, estrelamos o BFS no nó 7 para obter o nó 9 à distância máxima. O caminho do nó 7 ao nó 9 é claramente o caminho mais longo.

E se o BFS iniciado no nó 6 fornecesse 2 como o nó na distância máxima. Então, quando obtermos BFS de 2, obteremos 7 como nó na distância máxima e o caminho mais longo será 2-> 1-> 4-> 5-> 7 com comprimento 4. Mas o comprimento do caminho mais longo real é 5. Isso não pode acontece porque o BFS do nó 6 nunca dará o nó 2 como nó na distância máxima.

Espero que ajude.

Aqui está uma prova que segue o conjunto de soluções MIT vinculado mais detalhadamente à pergunta original. Para maior clareza, usarei a mesma notação usada para que a comparação possa ser feita com mais facilidade.

$a$$b$$a$$b$$p(a, b)$$d(a, b)$$s \neq a, b$$s = a$$b$$u$$d(s, u) = \max_x d(s, x)$

$a$$b$

$d(a,b)$$d(a, b)$

$\max [d(s,a), d(s, b)] = d(s, u)$

$d(s, a)$$d(s,b)$$d(s, u)$

$p(a, b)$$s$$d(a, b)$$t$$p(a, b)$$s$$d(a, u) = d(a, t) + d(t, s) + d(s, u) > d(a, b) = d(a, t) + d(t, b)$$d(s, u) > d(s, b) = d(s, t) + d(t, b) > d(t, b)$$d(b, u) > d(a, b)$$d(a, b)$

$p(a, b)$$s$$d(a, b)$ $u$$d(s, u) = \max_x d(s, x)$$d(a, u)$$d(b, u)$$d(a, b)$

$u$$u$$s$$u$$v$$d(s, v) = d(s, u)$$d(a, b) = 2d(s, u)$$u$$v$

Primeiro, execute um DFS a partir de um nó aleatório e, em seguida, o diâmetro de uma árvore é o caminho entre as folhas mais profundas de um nó em sua subárvore DFS:

Pela definição de BFS, a distância (a partir do nó inicial) de cada nó explorado é igual à distância do nó anterior explorado ou superior a 1. Portanto, o último nó explorado pelo BFS estará entre os mais distantes desde o início nó.

$x$$a$$x$$x$$b$$a$$a$

Uma coisa importante a saber é que uma árvore é sempre plana, o que significa que ela pode ser projetada em um plano, e muitas vezes o pensamento bidimensional comum funciona. Nesse caso, o algoritmo diz que, começando em qualquer lugar, vá o mais longe possível. A distância desse ponto até onde você pode se afastar é a maior distância na árvore e, portanto, o diâmetro.

Esse método também funcionaria para encontrar o diâmetro de uma ilha física real se o definíssemos como o diâmetro do menor círculo que envolveria completamente a ilha.

@op, a maneira como os casos são definidos no PDF pode ser um pouco complicada.

Eu acho que os dois casos devem ser:

1. $p_1$$p_2$$p_1$$p_2$$t$$p_2$$s$

2. $p_1$$p_2$$t$$p_2$$p_1$

O restante da prova no PDF deve seguir.

Com essa definição, a figura mostrada pelo OP se enquadra no caso 2.