Aplicação do teorema das quatro cores

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Eu estava lendo o teorema das quatro cores e me pergunto se existe alguma aplicação prática dele. (Não acho que separar o mapa em quatro cores diferentes possa ser considerado um aplicativo.)

Eu tentei pesquisar no Google por aplicativos, mas não consegui encontrar nenhum.

graph-theory colorings

— Computernerd
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Como se sabia que cinco cores são suficientes (com uma prova simples), a verdadeira questão é: qual aplicativo se beneficia do fato de que quatro em vez de cinco cores são suficientes.

— Yuval Filmus

Indiscutivelmente, colorir mapas não é uma aplicação, pois o teorema não permite territórios desconectados. Por exemplo, o Alasca, o Havaí e os EUA continentais precisam ter a mesma cor. A possibilidade de territórios desconectados significa que o gráfico correspondente a um mapa não é necessariamente plano: de fato, qualquer gráfico com

m

$m$ bordas podem ser realizadas por ter

m

$m$ ilhas de modo que países

i

$i$ e

j

$j$ compartilhar uma ilha se

i j

$ij$ é uma aresta no gráfico. Não me lembro se o mapa do mundo real é de 4 cores; provavelmente é.

— David Richerby

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Uma das aplicações mais notáveis do Teorema de 4 cores está nos mastros dos celulares. Todos esses mastros cobrem determinadas áreas com alguma sobreposição, o que significa que nem todos podem transmitir na mesma frequência. Um método simples de garantir que não haja dois mastros sobrepostos tenha a mesma frequência é fornecer a todos uma frequência diferente. Mas, como o governo possui todas as frequências e cobra por cada uma, é necessário usar o número mínimo possível de frequências. As áreas cobertas podem ser desenhadas como um mapa e as diferentes frequências podem ser representadas como cores.

— Raaman Nair
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Em outras palavras, supondo que uma coloração de quatro possa ser encontrada com eficiência, você só precisa reservar quatro frequências com antecedência, mesmo que a localização exata dos mastros seja desconhecida (ou até possa mudar).

— Yuval Filmus

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Isso é mesmo verdade? Não é garantido que o gráfico seja plano (cinco mastros próximos o suficiente induzirão uma

K_{5}

$K_5$ subgrafo), portanto não é garantido que seja quatro cores.

— David Richerby

Os gráficos planares do @YuvalFilmus podem ter quatro cores em tempo quadrático: Robertson, Sanders, Seymour e Thomas, "Gráficos planares com quatro cores eficientemente", Proc. STOC 1996 ( PDF ).

— David Richerby

Na verdade, permita-me voltar e fazer uma declaração mais forte. Isso não é verdade, exatamente porque cinco mastros bem colocados resultam em

K_{5}

$K_5$ . De fato, esta é uma aplicação do fato de que existe um algoritmo de tempo polinomial para calcular o número cromático de gráficos de disco unitário , que não são necessariamente planares e não são necessariamente com 4 cores.

— David Richerby

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Os problemas de coloração de gráficos são amplamente aplicáveis ao problema de agendamento.

Considere uma universidade, na qual você está tentando agendar horários para todos os exames finais. Alguns alunos estão participando de mais de uma aula. Portanto, você deve garantir que eles não tenham dois exames agendados ao mesmo tempo. No entanto, você deseja que o período de redação do exame seja o mais curto possível, para executar o maior número possível de exames simultaneamente.

Você pode representar isso como um problema de coloração do gráfico: você cria $G=(V,E)$ onde cada classe é um vértice e uma aresta entre vértices sempre que duas classes contêm o mesmo aluno. Suas cores representam diferentes intervalos de tempo dos exames. O número mínimo com o qual você pode colorir esse gráfico é o menor número de intervalos de tempo necessários para realizar todos os seus exames.

O problema em geral é difícil para o NP, mas se você tivesse algum conhecimento sobre sua programação, digamos, que era plana, poderia aplicar o teorema das quatro cores para escrever todos os exames juntos.

Não tenho 100% de certeza de que você obteria um gráfico planar em um problema de programação da vida real, mas há uma lição mais ampla aqui: os gráficos são amplamente aplicáveis a coisas que não são imediatamente óbvias. O teorema das quatro cores não se refere apenas a gráficos e mapas, pode ser usado para modelar problemas da vida real nos quais você está expressando algum conjunto de objetos e algumas relações binárias entre esses objetos.

— jmite
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Parece relativamente improvável que você obtenha um gráfico planar em um problema de agendamento, pois, como você diz, isso permitiria resolver tudo usando apenas quatro slots. (Por exemplo, no exemplo específico que você dá, o gráfico não é planar se há um único aluno tomar cinco classes.)

— David Richerby

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sim gráfico planar $n$ -coloring para baixo / fixo $n$ possui aplicações mínimas, principalmente coloração de mapas planares. Contudo $n$ -coloring para arbitrário $n$ é NP completo , foi um dos 1 ^st problemas comprovados NP completo, portanto, amarrando o edifício maciço de teoria. mas na verdade até $n$ a cor pode ser reduzida para 3 cores através de uma transformação básica. [1] tão $n$ coloração para $n \geq 3$ é NP completo (mas não restrito a gráficos planares) . provavelmente existem outras reduções nos mapas planares e de 4 cores estudadas na literatura. ou seja, para ter uma idéia melhor de seu significado, seria necessário estudar as possíveis reduções, o que é um tópico complexo / avançado / mais amplo.

mas outro ângulo é que a questão da coloração 4 de um mapa / gráfico planar foi um difícil problema aberto em matemática / ciência da computação por muitas décadas (na verdade, com mais de meio século e um dos primeiros problemas gráficos avançados). a matemática avança na solução de problemas não resolvidos. ele se encaixa em um padrão básico comum de "problemas fáceis de declarar, mas as soluções / provas ficaram inacessíveis por um longo tempo e são muito complexas". essa é uma assimetria fundamental generalizada na matemática que mostra os limites da alavancagem matemática / teórica .

as técnicas consideradas bem-sucedidas podem ser aplicadas a outros problemas não resolvidos e, às vezes, abrem novas perspectivas / abstrações teóricas / conceituais. às vezes, provas notáveis são valiosas por si mesmas e o teorema das 4 cores se encaixa nessa categoria. é uma das mais sofisticadas provas de teoremas automatizados iniciais. outros trabalhos foram aprimorados em simplificações legíveis por humanos desde que foram descobertos e causaram um choque relativo pela comunidade teórica em seu anúncio, provocando muito mais análises e comentários. serve como uma referência / marco / caso de teste para melhorias na prova automatizada de teoremas .

[1] 3 cores estão NP completas

— vzn
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Provavelmente, é uma boa ideia usar um símbolo diferente de

n

$n$ para indicar o número de cores, já que

n

$n$ geralmente denota a cardinalidade do conjunto de vértices. Além disso, não sabemos como gráficos planares de três cores em tempo polinomial.

— Juho