Cálculo Lambda: Como os contextos de avaliação “funcionam”

No cálculo lambda puro, temos o conjunto de termos definido indutivamente (a gramática):

e :: = x ∣ λ x . e ∣ e_{1} e_{2}

$e::= x \mid \lambda x . e \mid e_1 e_2$

Sob a estratégia de avaliação de valor por chamada, temos as regras de inferência para redução beta e regras sobre como avaliar aplicativos (regras de congruência). Estou tentando entender como os contextos de avaliação podem substituir as regras de congruência sem realmente alterar a sintaxe do idioma. Sem contextos de avaliação, temos o seguinte:

\frac{e_{1} \to e_{1}^{'}}{e_{1} e_{2} \to e_{1}^{'} e_{2}}

$\frac{e_1 \rightarrow e_1'}{e_1e_2 \rightarrow e_1'e_2}$ e

\frac{e_{2} \to e_{2}^{'}}{v e_{2} \to v e_{2}^{'}} .

$\frac{e_2 \rightarrow e_2'}{ve_2 \rightarrow ve_2'}.$

Isso faz sentido, pois se tivermos uma instância de uma expressão , fica claro que é do formato e, portanto, $t = (\lambda f . \lambda x. f x)((\lambda y .y)\lambda z .z)\lambda w.w$ $e_1e_2 \rightarrow e_1'e_2$

(λ f . λ x . f x) ((λ y . y) λ z . z) λ W . W \to (λ f . λ x . f x) (λ z . z) λ W . W

$(\lambda f . \lambda x. f x)((\lambda y .y)\lambda z .z)\lambda w.w \rightarrow (\lambda f . \lambda x. f x)(\lambda z .z)\lambda w.w$

Se substituirmos as regras de congruência pelos contextos de avaliação: , precisamos de apenas uma regra para expressar as regras de congruência da linguagem:

E :: = [\cdot] ∣ E e ∣ v E

$E::= [\cdot] \mid Ee \mid vE$

\frac{e \to e^{'}}{E [e] \to E [e^{'}]} .

$\frac{e \rightarrow e'}{E[e] \rightarrow E[e']}.$

Estou confuso sobre como os contextos de avaliação podem nos dizer como avaliar a expressão de cima sem alterar a sintaxe do idioma. Não entendo como o contexto da avaliação "funciona" sem reescrever como $t$ $t$

E_{t} = (λ f . λ x . f x) [\cdot] λ w . w

$E_t = (\lambda f . \lambda x. f x)[\cdot]\lambda w.w$

onde . Não há razão a priori óbvia para avaliar sob chamada por valor sem o conhecimento de . Eu realmente não tenho idéia de onde estou errado. Alguém pode ajudar a corrigir meu pensamento? $t = E_t[((\lambda y .y)\lambda z .z)]$ $t$ $E_t$

programming-languages lambda-calculus semantics

— baffld
fonte

A redução não é uma congruência com estratégias de redução, como chamada por valor. Veja também aqui .

— Martin Berger

Eu não entendo sua resposta; seu uso de "congruência" como verbo não faz sentido para mim. Li as respostas no link que você forneceu, mas ainda não entendo por que é apresentado como uma forma sintática, mas nunca é realmente usado na sintaxe do idioma para o qual está definido.

E

$E$

— baffld

Não estou usando congruência como verbo. Eu não entendo o que você quer dizer. E é uma meta-variável que abrange os contextos de avaliação. Os contextos de avaliação são um subconjunto adequado de contextos. Contextos são programas com um buraco.

— Martin Berger

A sutileza reside em onde é feita a distinção entre linguagem e metalinguagem. Como René Magritte colocou:

$(\lambda f. \lambda x. f x) ((\lambda y.y) (\lambda z.z)) (\lambda w.w)$ é um termo lambda, escrito na sintaxe dos termos lambda. Vamos chamar isso de termo lambda $t$ . Deixei $M$ seja o termo lambda $(\lambda f. \lambda x. f x) ((\lambda y.y) (\lambda z.z))$ . eu consigo escrever $t = M \, (\lambda w.w)$ (e esta é uma verdadeira igualdade): tudo o que fiz foi dar um nome a um subtermo. Se você considerar o lado direito dessa igualdade " $M \, (\lambda w.w)$ ”, Não está escrito na sintaxe dos termos lambda; está escrito em uma notação matemática em que permitimos que uma carta represente um termo lambda.

Quando escrevemos uma regra como

\frac{e_{2} \to e_{2}^{'}}{v e_{2} \to v e_{2}^{'}}

$\frac{e_2 \to e_2'}{v \, e_2 \to v \, e_2'}$ afirma o seguinte axioma: para qualquer termo lambda

e_{2}

$e_2$ e

e_{2}^{'}

$e_2'$ e qualquer valor

v

$v$ , E se

e_{2}

$e_2$ reduz a

e_{2}^{'}

$e_2'$ então

v e_{2}

$v \, e_2$ reduz a

v e_{2}^{'}

$v \, e_2'$ . Aqui estamos novamente usando meta-notações (ou seja, notações matemáticas para raciocinar sobre uma linguagem): a seta

\to

$\to$ expressar a relação de redução; metavariáveis em que uma letra indica a classificação (

e

$e$ para termos lambda,

v

$v$ para valores) e subscritos e números primos distinguem entre metavariáveis do mesmo tipo; a notação de fração para escrever um axioma indutivo.

Quando escrevemos a regra

\frac{e \to e^{'}}{E [e] \to v E [e^{'}]}

$\frac{e \to e'}{E[e] \to v E[e']}$ então de novo

E [\cdot]

$E[\cdot]$ é uma meta-notação, parte da metalinguagem e não da sintaxe lambda-term. A regra significa: para quaisquer termos lambda

e

$e$ e

e^{'}

$e'$ e qualquer contexto de avaliação

E [\cdot]

$E[\cdot]$ , E se

e

$e$ reduz a

e^{'}

$e'$ então

E [e]

$E[e]$ reduz a

E [e^{'}]

$E[e']$ .

Se chamarmos o contexto $(\lambda f. \lambda x. f x)[\cdot] (\lambda w.w)$ pelo (meta-) nome $E_t$ , então $t = E_t[(\lambda y.y)(\lambda z.z)]$ . Novamente, essa é uma igualdade entre dois termos lambda, ou seja, o mesmo termo lambda está em ambos os lados do sinal de igual. O que temos à esquerda e à direita são duas meta-notações diferentes para o mesmo termo lambda $(\lambda f. \lambda x. f x) ((\lambda y.y) (\lambda z.z)) (\lambda w.w)$ : um que usa um nome que demos a ele, outro que é um pouco mais complicado envolvendo um contexto ao qual demos um nome.

Dado o termo $t$ , como você descobre como isso pode reduzir?

Com a notação usando várias regras, você precisa encontrar uma árvore de deduções (em geral - aqui a derivação é linear, portanto, basta encontrar uma cadeia que conduz a um axioma).
Com a notação usando contextos de avaliação, é necessário encontrar um contexto de avaliação adequado.

A gramática do contexto da avaliação segue a estrutura das regras de avaliação, portanto, na verdade, não são realmente dois métodos, mas duas maneiras diferentes de expressar a mesma definição.

Para entender isso, recomendo vivamente o seguinte exercício: no seu idioma favorito, implemente a avaliação de chamada por valor de termo lambda de maneira direta, com um tipo representando termos lambda e uma função executando uma etapa de redução.

— Gilles 'SO- parar de ser mau'
fonte

Em conexão com o seu último parágrafo: todos os lógicos e todos os que estudam sintaxe devem ser feitos para implementar a substituição.

— 187 Andrej Bauer #