Implicações do limite inferior do circuito

Há um resultado básico na complexidade do circuito que diz:

Existe uma linguagem que não pode ser resolvida com circuitos do tamanho .$o(\frac{2^n}{n})$

O argumento é um argumento simples de contagem do número de funções booleanas e do número de circuitos distintos. Veja, por exemplo, estas notas de aula .

Acredito que não se sabe se esse limite é ou não apertado. Ou seja, não sabemos se a seguinte declaração é verdadeira:

Todo idioma pode ser resolvido com circuitos do tamanho .$O(\frac{2^n}{n})$

Se essa afirmação fosse verdadeira, teria implicações interessantes para a teoria da complexidade?

Isso foi comprovado por Muller já em 1956. Aqui está a construção. Seja um parâmetro. Primeiro calculamos todas as funções possíveis nas primeiras entradas no tamanho (veja abaixo). Em seguida, construímos uma árvore de decisão para as outras variáveis , conectando-a à função correta nas variáveis ​​restantes. Isso leva (veja abaixo), para um total de . Escolhendo , obtemos o limite desejado.$k$$k$$O(2^{2^k})$$n-k$$O(2^{n-k})$$O(2^{2^k}) + O(2^{n-k})$$k = \log (n - \log n)$

Calculamos todas as funções possíveis em entradas indutivamente. Seja o tamanho de um circuito que computa todas as funções possíveis em entradas. Existem duas funções nas entradas zero, então . Toda função nas entradas pode ser escrita como , então . A solução dessa recorrência é .$k$$Z_k$$k$$Z_0 = 2$$f(x_1,\ldots,x_k)$$k$$x_k f(x_1,\ldots,x_{k-1},1) + \overline{x_k} f(x_1,\ldots,x_{k-1},0)$$Z_k = Z_{k-1} + 2^{2^k} \cdot O(1)$$Z_k = O(2^{2^k})$

Para calcular a árvore de decisão, usamos uma construção semelhante: dada uma árvore para os primeiros variáveis, podemos construir uma árvore para os primeiros variáveis do formulário . A recorrência que obtemos é , cuja solução é .$T$$k-1$$k$$x_k T + \overline{x_k} T$$W_k = 2W_{k-1} + O(1)$$W_k = O(2^k)$