Como provar que os ε-loops não são necessários nos PDAs?

No contexto de nossa investigação de autômatos de heap , eu gostaria de provar que uma variante específica não pode aceitar linguagens não sensíveis ao contexto. Como não temos um modelo gramatical equivalente, preciso de uma prova que use apenas autômatos; portanto, tenho que mostrar que autômatos de heap podem ser simulados por LBAs (ou um modelo equivalente).

Espero que a prova funcione de maneira semelhante a mostrar que os autômatos de empilhamento aceitam um subconjunto das linguagens sensíveis ao contexto. No entanto, todas as provas que conheço funcionam por

usando gramáticas - aqui o fato é óbvio por definição - ou
são inconvencionalmente vagas (por exemplo, aqui ).

Meu problema é que um PDA (resp. HA) pode conter ciclos de -transitions que podem gravar símbolos na pilha (resp. Heap). Um LBA não pode simular iterações arbitrárias desses loops. Da hierarquia de Chomsky obtida com gramáticas, sabemos que $\varepsilon$

toda linguagem livre de contexto possui um - ou $\varepsilon$
o LBA de simulação pode impedir a iteração -cycles com muita frequência. $\varepsilon$

Intuitivamente, isso é claro: esses ciclos gravam símbolos independentemente da entrada; portanto, o conteúdo da pilha (heap) mantém apenas uma quantidade de informações lineares na duração do ciclo (desconsiderando os ciclos sobrepostos por enquanto). Além disso, você não tem como se livrar das coisas novamente (se necessário), além de usar outra . Em essência, esses ciclos não contribuem para lidar com a entrada se iterados várias vezes, portanto, não são necessários. $\varepsilon$

Como esse argumento pode ser colocado de maneira rigorosa / formal, especialmente considerando a sobreposição de -cycles? $\varepsilon$

automata pushdown-automata

— Rafael
fonte

Não sei por que você afirma que -cycles têm um limite de comprimento; para PDAs não determinísticos, é certamente possível ter um ciclo infinito, do qual o autômato pode sair. Ou estou entendendo mal algo fundamental?

ϵ

$\epsilon$

— vonbrand

É claro que eles podem tê-los, mas pela inclusão da CFL na CSL eles não podem ser "necessários".

— Raphael

o problema é que o esboço da prova afirma que eles não existem.

— 21413 vonbrand

A resposta de Ran aqui parece relevante; ele mostra diretamente que existe um PDA sem . No entanto, ele precisa de gramáticas, afinal, para que a técnica não seja usada para acumular autômatos.

ε

$\varepsilon$

— Raphael

Essa é apenas uma idéia vaga no momento, mas você não pode usar um LBA não determinístico e usar o não-determinismo para interromper o ciclo no passo certo (da mesma maneira que um PDA)?

— Luke Mathieson

A remoção das foi estudada para o modelo mais geral de autômatos de valência por Zetzsche [1]. Autômatos Valence são essencialmente autômatos finitos com um monóide para armazenamento. $\varepsilon$

Entre outras coisas, programas Zetzsche que para monoides a partir de uma classe rica de monoides (que contém (parcialmente) contadores cegos, pilhas, e suas combinações), -livre -automata aceitar a mesma classe de linguagens como automata. $M$ $\mathcal{C}$ $\varepsilon$ $M$ $M$

Como os PDAs com um alfabeto de pilha de símbolos correspondem a autômatos de valência sobre o monóide ( é o monóide bicíclico ), o resultado do Teorema 1 (resp. 7.1 na pré-impressão) aplica-se aqui. $k$ $\mathbb{B}^{(k)} \in \mathcal{C}$ $\mathbb{B}$

A prova é longa e técnica; as provas dos lemas 8 e 10 (respectivamente 7.6 e 7.9) contêm as construções relevantes. Note-se que, enquanto eles não usam modelos de gramática (como exigido na questão) que fazem uso de valência transdutores .

Transições silenciosas em autômatos com armazenamento por G. Zetzsche (2013) [pré-impressão mais elaborada no arXiv ]

— Rafael
fonte

FWIW, esses resultados parecem não se acumular nos autômatos, pois seu mecanismo de armazenamento não corresponde a um monóide, pelo menos não nas formas estudadas por Zetzsche.

— Raphael