Exatamente um de NP e co-NP pode ser igual a P?

Talvez esteja faltando algo óbvio, mas será que P = co-NP NP ou vice-versa? Meu sentimento é que deve haver algum teorema que descarta essa possibilidade.$\subsetneq$

Não, porque está fechado para complementar isso, e sabemos até que .$\mathsf{P}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP} \implies \mathsf{NP}=\mathsf{co\text{-}NP}$

Vamos supor que e digitar , portanto, . Assumimos que e, portanto, existe um TM st . Se pegarmos o "complemento" de M , que é uma máquina M ' que é idêntica a M, exceto que seus estados de aceitação e rejeição são revertidos, obtemos que L (M') = (L ^ c) ^ c = L , e portanto, L está em \ mathsf {NP} .$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$L \in \mathsf{co\text{-}NP}$$L^c \in \mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$M$$L(M)=L^c$$M$$M'$$M$$L(M')=(L^c)^c=L$$L$$\mathsf{NP}$

Isso mostra que, assumindo que , obtemos e, portanto, .$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$(\mathsf{P}=)\mathsf{NP}=\mathsf{co\text{-}NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{co\text{-}NP}$

$\mathsf{P}$ está fechado no complemento (por exemplo, ¹); portanto, se (ou ), então$\mathsf{P}=\mathsf{co\text{-}P}$$\mathsf{P}=\mathsf{co\text{-}NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{co\text{-}NP} = \mathsf{NP}$

1. Dada uma linguagem , podemos construir uma TM determinística 'que decide em tempo polinomial simplesmente pegando a TM que decide e ...$L \in \mathsf{P}$$\overline L$$L$