Problema com a altura máxima de empilhamento

O seguinte problema foi estudado antes? Se sim, quais abordagens / algoritmos foram desenvolvidos para resolvê-lo?

Problema ("Problema na altura máxima de empilhamento")

Dado polígonos, encontre seu arranjo estável e sem sobreposição que maximize sua altura de empilhamento em um piso fixo sob a influência da gravidade. $n$

Exemplo

Três polígonos:

insira a descrição da imagem aqui

e três de seus infinitos arranjos estáveis e sem sobreposição, com diferentes alturas de empilhamento:

insira a descrição da imagem aqui

Esclarecimentos

Todos os polígonos têm massa uniforme e densidade igual
O atrito é zero
A gravidade está agindo em todos os pontos na direção descendente (ou seja, os vetores de força são todos paralelos)
Uma configuração não é considerada estável se repousar sobre um ponto de equilíbrio instável (por exemplo, o triângulo verde nas figuras não pode se equilibrar em nenhum de seus vértices, mesmo que a massa à esquerda e à direita do ponto de equilíbrio seja igual)
Para esclarecer ainda mais o ponto acima: Um polígono é considerado instável ("tombamento"), a menos que repouse em pelo menos um ponto estritamente à esquerda e em pelo menos um ponto estritamente à direita do centro de gravidade (essa definição simplifica bastante a simulação e em particular, torna desnecessária a integração de posições etc., com o objetivo de avaliar se um arranjo é estável ou não.
O problema em sua forma "física" é um problema contínuo que só pode ser resolvido aproximadamente na maioria dos casos. Para obter um problema discreto que pode ser resolvido algoritmicamente, restrinja os vértices dos polígonos e sua colocação na disposição às redes adequadas.

Notas

Abordagens de força bruta de qualquer tipo são claramente inviáveis. Mesmo com restrições estritas no posicionamento de polígonos dentro da rede (como fornecer uma região limitada "espaço da rede"), a complexidade simplesmente explode por mais do que alguns polígonos.
Os algoritmos iterativos devem trazer heurísticas muito inteligentes, pois é fácil construir arranjos em que a remoção de qualquer polígono resulta na configuração instável e esses arranjos são inacessíveis por algoritmos que dependem de cada etapa intermediária ser estável.
Como o problema cheira pelo menos NP - mas é mais provável que EXPTIME - completo no número total de vértices, até as heurísticas seriam de considerável interesse. Uma coisa que dá esperança é o fato de a maioria dos humanos reconhecer que o terceiro arranjo no exemplo é ideal.

Para essa definição de "instável" (embora possivelmente não seja mais precisa), pode-se, em princípio, resolver o problema exatamente pela eliminação do quantificador de campos fechados reais .

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@ RickyDemer: Eu realmente gostaria de entender isso, mas, embora tenha olhado o jornal e siga os pontos principais, não vejo a conexão. Você poderia me dar mais algumas dicas? Uma ligação entre o problema de empilhamento e a álgebra certamente parece intrigante.

Isso pode ser porque eu vinculei incorretamente a um procedimento de decisão e não a um algoritmo de eliminação do quantificador . Este artigo é uma referência muito melhor para o que eu estava falando. Também encontrei um artigo sobre alguns casos quadráticos que podem ser suficientes quando as coordenadas dos vértices são todas racionais.

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:) Também encontrei mais material ligando explicitamente a geometria computacional à eliminação do quantificador. Agora entendo o que você quis dizer com "embora possivelmente não seja para os mais precisos"; de fato, parece impossível estender esses métodos puramente formais à física "real", onde restrições complexas, como equações diferenciais, entram em jogo. No entanto, obrigado pelo interessante ângulo de ataque, passarei algum tempo estudando-o.

Embora eu não conheça nenhum algoritmo específico para esse problema, você pode abordar isso de um método bastante eficiente, dividindo-o em partes separadas.

Eu começaria encontrando a rotação para cada forma individual que fornece uma altura máxima, mantendo uma orientação de balanceamento válida (é: não em um ponto como o triângulo). Se uma forma tem várias alturas iguais, eu usaria a configuração que fornece a maior área de superfície em cima dela. Depois de ter isso, você poderá descobrir como empilhar melhor cada objeto em uma mansão capaz de ser equilibrada.

— GEMISIS
fonte

É muito fácil construir exemplos em que essa abordagem leva a uma solução abaixo do ideal. Por exemplo, considere um paralelogramo obtido cortando um retângulo muito longo (para torná-lo estável apenas se descansar no lado comprido) mais um triângulo que corresponde ao seu ângulo de cisalhamento. Individualmente, com sua abordagem, você seria forçado a girar o paralelogramo para que ele fique do lado mais comprido, mas o triângulo pode apoiá-lo para que fique "em pé" (observe que o problema do atrito zero pode ser facilmente superado adicionando um pequeno recanto no paralelogramo que permite que o triângulo "se encaixe").

Isso é verdade, eu não tinha pensado nisso. Uma solução para isso pode ser verificar formas que possam ser usadas como suporte para o objeto, mas que nem sempre oferecem uma altura ideal. Você ainda pode tentar isso e comparar com várias configurações totais a melhor altura, pois isso ainda deve ser melhor do que uma força bruta.

— GEMISIS

Aqui também se depara com problemas significativos, a saber, quando não é um objeto que suporta outro, mas uma pilha de objetos com a altura certa para suportar um objeto muito grande em pé. Os algoritmos para verificar tudo o que se torna arbitrariamente complexo. Dito isto, concordo que deve ser possível obter um tempo de execução "melhor que a força bruta" com algumas eliminações sensíveis.