Distância mais curta entre um ponto em A e um ponto em B

Dado dois conjuntos $A$ e $B$ cada um contendo $n$ pontos disjuntos no plano, calcule a menor distância entre um ponto em $A$ e um ponto em $B$ , ou seja, $\min \space \{\mbox{ } \text{dist}(p, q) \mbox{ } | \mbox{ } p \in A \land q \in B \space \}$ .

Não tenho certeza se estou certo, mas esse problema é muito semelhante aos problemas que podem ser resolvidos pela programação linear em geometria computacional. No entanto, a redução para LP não é direta. Também meu problema parece relacionado a encontrar o ponto mais fino entre dois conjuntos de pontos que obviamente podem ser resolvidos por LP em $O(n)$ no espaço bidimensional.

Eu tenho uma solução que pode parecer um pouco complicada, mas deve ser mais eficiente do que a pesquisa de força bruta ingênua :$\mathcal O(n^2)$

1. deixar que ser o eixo entre os centros de massa de e .A $v$$A$$B$
2. Classifique os pontos em e ao longo deste eixo em ordem decrescente e crescente, respectivamente, resultando nas seqüências , , ..., e , , ..., .B a 0 a 1 a n b 0 b 1 b $A$$B$$a_0$$a_1$$a_n$$b_0$$b_1$$b_n$

O restante está em pseudocódigo para deixar mais claro:

d = infinity.
for j from 1 to n
    if (b_1 - a_j) along v > d then break endif
    for k from 1 to n
        if (b_k - a_j) along v > d then
            break
        else
            d = min( d , ||b_k - a_j|| )
        endif
    enddo
enddo

Ou seja, ao pré-classificar os pontos ao longo de , é possível filtrar os pares que nunca estarão dentro de pois ao longo de sempre será.$v$$d$ v ≤ ″ b k - a j$b_k-a_j$$v$$\le \|b_k-a_j\|$

No pior caso, ainda é , mas se e estiverem bem separados, deve ser muito mais rápido que isso, mas não melhor que , que é necessário para a classificação.A B O ( n log n $\mathcal O(n^2)$$A$$B$$\mathcal O(n\log n)$

Atualizar

Esta solução não é de forma alguma tirada do chapéu. É um caso especial do que uso nas simulações de partículas para encontrar todos os pares de partículas que interagem com o bineamento espacial. Meu próprio trabalho explicando o problema mais geral está aqui .

Quanto à sugestão de usar um algoritmo de varredura de linha modificado, embora intuitivamente simples, não estou convencido de que isso esteja em quando conjuntos disjuntos são considerados. O mesmo vale para o algoritmo aleatório de Rabin.$\mathcal O(n\log n)$

Parece não haver muita literatura lidando com o problema do par mais próximo em conjuntos disjuntos, mas descobri isso , que não reivindica ser inferior a , e isso , que não parece para fazer qualquer reclamação sobre qualquer coisa.$\mathcal O(n^2)$

O algoritmo acima pode ser visto como uma variante da varredura de avião sugerida no primeiro artigo (Shan, Zhang e Salzberg), mas, em vez de usar o eixo- e sem classificação, o eixo entre os conjuntos é usado e os conjuntos são percorridos em ordem decrescente / crescente.$x$

Você pode adaptar o algoritmo de varredura de linhas do "par mais próximo" , que é .$O(n \log n)$

A única alteração que você precisará fazer é ignorar os pares que pertencem ao mesmo conjunto.

Edit: Na verdade, isso não é simples (ou até possível) como eu descrevi. Veja os comentários para discussão.

A idéia em problemas como esse é criar uma estrutura ordenada a partir de um dos conjuntos que permita consultas eficientes do vizinho mais próximo. O artigo clássico que apresentou uma estrutura de consulta O (log n) para dimensão arbitrária foi:

Shamos e Hoey em soluções Voronoi

Desde então, várias outras partições espaciais baseadas em idéias dos mosaicos de Delauney foram criadas e também se traduzem em uma variedade de descrições de varredura do subespaço. Observe que o método Voronoi também se enquadra na descrição geral de dividir e conquistar devido ao seu particionamento plano que faz a etapa de construção O (n log n).

Portanto, a solução básica para esse problema é:

1. Pegue o conjunto A e crie a eficiente estrutura de consulta do Vizinho Mais Próximo de sua escolha. Este passo da construção é O (n log n) [veja o teorema 4].
2. Para cada elemento em B, consulte a estrutura A para o vizinho mais próximo. Cada consulta é O (log n) [consulte o teorema 15, dimensão fixa]; portanto, o tempo total de consulta para todos os pontos em B é O (n log n).
3. Quando o resultado do ponto mais próximo de A para cada B for recuperado, coloque-o em uma estrutura ordenada à distância. Este é O (log n) insira cada resultado ou O (n log n) para todos.
4. Quando todos os B foram examinados, você pode rapidamente (O (1)) obter o ponto B na estrutura ordenada com a menor distância vizinha até um ponto em A.

Como é possível observar a complexidade de cada etapa, a complexidade total é O (n log n). Para o leitor moderno que não procura artigos clássicos, isso é abordado em muitos livros de algoritmos, por exemplo, "The Algorithm Design Manual" de Skiena.

Não tenho certeza se estou certo, mas esse problema é muito semelhante aos problemas que podem ser resolvidos pela programação linear em geometria computacional. No entanto, a redução para LP não é direta. Também meu problema parece relacionado a encontrar o ponto mais fino entre dois conjuntos de pontos que obviamente podem ser resolvidos por LP no espaço bidimensional.

O limite inferior para esse problema é no modelo de árvore de decisão algébrica. Vou dar um esboço da sua prova aqui.$O(n*\log{n})$

Reduziremos a instância do problema de distinção de elemento E para C.

• Insira E: $S = \{a_1, a_2, a_3,...,a_n\}$
• Seja > 0 uma pequena fração$\epsilon$
• A = ,B = { ( a i + ϵ ) : 1 ≤ i ≤ n $\{(a_i,0) : 1 \leq i \leq n\}$$B = \{(a_i + \epsilon) : 1 \leq i \leq n\}$
• Agora, se pudermos encontrar a menor distância (d) entre os conjuntos A e B. Podemos decidir o problema da distinção do elemento em tempo como a seguir $O(n)$
  • O conjunto tem uma duplicata se e somente se d =$S$$\epsilon$

Sabemos que o limite inferior no tempo de execução para decidir o problema de distinção de elemento é . Portanto, por redução, o limite inferior também se aplica ao nosso problema.$O(n*\log{n})$