Algoritmo para encontrar todas as orientações acíclicas de um gráfico


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Estou trabalhando em orientações acíclicas de gráficos não direcionados e tenho as seguintes perguntas:

  1. Dado o gráfico simples não direcionado conectado , como encontrar todas as orientações acíclicas possíveis de ?GG
  2. Qual é o número de orientações acíclicas? Sabe-se ( daqui ) ser para um gráfico com vértices onde é o polinômio cromático avaliado em ; mas não consegui entender como avaliar com um valor negativo ( ). (-1)p χ(G,-λ)Gpχ-λχ-λ

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Re 2, é apenas um polinômio. Pode ser avaliado em qualquer ponto complexo. O número de orientações acíclicas é , onde é o número de vértices. Por exemplo, o polinômio cromático de um triângulo é e, portanto, o número de orientações acíclicas é (todas as orientações, exceto as orientações cíclicas). χ(G,)(-1)pχ(G,-1)pt(t-1)(t-2)(-1)3(-1)(-2)(-3)=6232
Yuval Filmus

@YuvalFilmus muito obrigado. então é uma questão de avaliar o polinômio em . -λ
Seteropere

Respostas:


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Como Yuval observou, você pode contar o número de orientações acíclicas avaliando o polinômio cromático de um gráfico na unidade negativa. Para computação de polinômios cromáticos, existem algoritmos eficientes conhecidos para algumas classes de gráficos .

Existe também um algoritmo recursivo para gerar todas as orientações acíclicas de um gráfico fornecido por Squire [1]. O algoritmo requerO(n)tempo por orientação acíclica gerada. Cerca de 20 anos atrás, esse foi o algoritmo mais rápido conhecido; é possível que um mais rápido seja conhecido agora ou que você possa melhorar o algoritmo do Squire por técnicas conhecidas.


[1] Squire, MB (1998). Gerando as orientações acíclicas de um gráfico. Journal of Algorithms, 26 (2), 275-290.

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