os idiomas do NP Complete estão fechados em alguma operação regular?

Tentei procurar on-line, mas não consegui encontrar nenhuma declaração definitiva. Faria sentido para mim que Union e Intersection de duas linguagens NPC produzissem uma linguagem não necessariamente na NPC. Também é verdade que os idiomas NPC não estão fechados nas operações complemento, concatenação e estrela kleene?

complexity-theory np-complete closure-properties

— user16742
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apenas uma observação: operações regulares são união, concatenação e estrela de Kleene, e não interseção e complemento

— A.Schulz

Por que não interseção e complemento? Não vi nenhuma definição formal de operações regulares em nenhum lugar.

— Tushar #

@Tushar De fato: união, concatenação e estrela Kleene são operações regulares, enquanto união, interseção e complemento são operações booleanas. Veja a Wikipedia .

— Hendrik Jan

@ Tushar: Como essas operações são usadas para criar expressões regulares .

— A.Schulz

Respostas:

Para todos os exemplos nesta resposta, estou usando o alfabeto como $\{0,1\}$ . Observe que os idiomas $\emptyset$ e $\{0,1\}^*$ definitivamente não são NP- completos.

A classe de idiomas completos NP não é fechada sob interseção. Para qualquer idioma completo do NP $L$ , deixei $L_0 = \{0w\mid w\in L\}$ e $L_1 = \{1w\mid w\in L\}$ . $L_0$ e $L_1$ ambos são NP- completos, mas $L_0\cap L_1 = \emptyset$ .
A classe de idiomas completos NP não está fechada em união. Dados os idiomas completos do NP $L_0$ e $L_1$ da parte anterior, deixe $L'_0 = L_0 \cup \{1w\mid w\in \{0,1\}^*\}\cup\{\varepsilon\}$ e $L'_1 = L_1\cup \{0w\mid w\in \{0,1\}^*\}\cup\{\varepsilon\}$ . $L'_0$ e $L'_1$ ambos são NP- completos, mas $L'_0\cup L'_1 = \{0,1\}^*\!$ .
A classe de idiomas completos NP não está fechada sob concatenação. Considere os idiomas completos do NP $L'_0$ e $L'_1$ da parte anterior. Como os dois idiomas contêm $\varepsilon$ , temos $L'_0L'_1 \supseteq L'_0\cup L'_1 = \{0,1\}^*\!$ .
A classe de idiomas completos NP não está fechada sob a estrela Kleene. Para qualquer idioma completo do NP $L$ , $L\cup \{0,1\}$ é NP- completo, mas $\big(L\cup \{0,1\}\big)^* = \{0,1\}^*\!$ .
Se a classe de problemas completos de NP for encerrada sob complementação, NP = coNP . Se isso é verdade ou não, é um dos principais problemas em aberto na teoria da complexidade.

— David Richerby
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Excluindo o complemento, os idiomas NP-completos não estão fechados em todos eles? Ou isso é para P?

— Adjete

@Adjit Um. Eu provei que o NP está fechado sob nenhum deles.

— David Richerby

Para o seu idioma específico. Mas acho que não estou vendo como o {0, 1}*NP não está completo. Se você tomar, por exemplo, a interseção de 2 idiomas NP completos, você não deve obter um idioma NP completo, tornando o NP fechado sob interseção?

— Adjit

{0, 1} * e o idioma vazio são regulares, portanto decidíveis em tempo polinomial e não em NP-Complete. O @DavidRicherby mostrou que existem dois idiomas NP-Complete cuja interseção não é NP-Complete. Isso é suficiente para provar que o NPC não está fechado sob interseção.

— Weirdev 5/05/19

@weirdev Não!

\emptyset

$\emptyset$ e

Σ^{*}

$\Sigma^*$ não são NP- completos porque nenhum outro idioma se reduz a eles. Não basta dizer que eles estão em P - não sabemos que os idiomas em P não podem ser NP- completos.

— experiência

-2

Dê uma olhada nas provas de união, interseção, concatenação e estrela kleene das línguas NP, aqui . Parece que um argumento semelhante poderia ser feito para linguagens NP-Complete.

Para notação deixe

$A$ seja um oráculo que decida um problema NP-Complete conhecido como o 3-SAT. Veja a definição de turing redutível
$L_1$ e $L_2$ são idiomas NP-completos
$M_1$ e $M_2$ são máquinas de Turing que decidem $L_1$ e $L_2$ usando $A$ .
$L_3$ é $L_1 \cup L_2$
$M_3$ é uma máquina de turing que decide $L_3$

No caso da união de 1 , podemos criar uma nova máquina $M_3$ que decide $L_3$ chamando $M_1$ e $M_2$ como sub-rotinas. Por sua vez, cada vez $M_1$ ou $M_2$ é chamado, $A$ também é chamado. assim $M_3$ decide $L_3$ usando $A$ . Pelo argumento de 1 , o tempo de execução de $M_3$ está em P e já que usa $A$ como sub-rotina, $L_3$ é NP-completo. Em outras palavras, $L_3$ é NP-Completo pela mesma razão que $L_1$ e $L_2$ são NP-completos.

O mesmo argumento pode ser feito de interseção e parece que argumentos semelhantes poderiam ser feitos para concatenação e estrela de kleene.

No caso de elogio, parece provável que seja difícil provar pelas mesmas razões que é difícil provar elogio em NP.

— joebloggs
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A completude de NP é definida em termos de muitas reduções, e não de oráculos. Além disso, as línguas NP-completas definitivamente não estão fechadas sob união ou interseção. Se eles estão fechados sob complemento, então NP = coNP, que é uma questão importante em aberto.

— David Richerby

No artigo de Stephen Cook de 1971 [1], que define a NP-Completeness, ele usa uma máquina de consulta que é o mesmo conceito que um Oracle. Você também deve verificar o link acima na redutibilidade turing. [1] chell.co.uk/media/product/_master/1/files/…

— joebloggs em 30/04/2014

@joebloggs: Posso ver pelo seu argumento que a união e interseção de duas línguas NP-Complete é NP. No entanto, ele ainda não prova se é NP-completo. É necessário reduzir a união ou interseção de dois problemas de decisão com NP completo para um problema de decisão com NP completo para mostrar isso.

— Tushar #

@DavidRicherby: Você diz que os idiomas completos do NP definitivamente não estão fechados sob união ou interseção. Estou interessado em olhar para a prova disso. Você tem alguma referência para essa prova?

— Tushar #

@joebloggs: Seu argumento funciona para idiomas NP, mas NÃO para idiomas NP completos. Para provar que um idioma L é Np-completo, você precisa fornecer uma redução polinomial de L para um idioma NP-completo. Quanto à resposta de David, P é fechado sob interseção, porque tanto a linguagem vazia quanto a linguagem universal estão em P (portanto, também estão em PN), mas não estão completas em PN. Espero que isso fique claro!

— Tushar #