Algoritmo para combinar números com número mínimo de movimentos

Esse é um tipo de pergunta de distância de edição e é muito fácil. Estou com morte cerebral bastante neste assunto e não consigo descobrir até agora.

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Dada uma série de números, por exemplo

[3, 1, 1, 1]

Como alguém transformaria todos os números de maneira mais eficiente no mesmo número, com o número mínimo de "movimentos"? "Mover" significa adicionar ou remover um de um número.

No exemplo acima, as jogadas mais eficientes seriam:

[1, 1, 1, 1]

Isso exigiria 2 movimentos, reduzindo o primeiro número duas vezes.

Não consigo descobrir a melhor maneira de descobrir isso, considerando matrizes muito maiores de centenas de números.

Inicialmente, tentei calcular o número médio arredondado (soma de todos os divididos pelo comprimento) e reduzi-los à média calculada, mas o exemplo acima quebrou isso, exigindo 4 movimentos em vez de 2.

Suponho que poderia imaginar:

1. A média,
2. O modo,
3. A mediana

e obtenha a distância de edição de cada um deles, escolhendo a distância mínima. No entanto, não tenho certeza de que isso esteja correto em todas as instâncias. Como posso saber?

A resposta é levar a mediana. Uma das propriedades da mediana é que ela minimiza a distância L1 de cada elemento. (Para entender o artigo da Wikipedia, considere a distribuição de probabilidade como sendo a distribuição uniforme sobre sua série original de números).

Este é o algoritmo que resolve o problema (originalmente escrito por dc2 ):

function median(arr) {
  arr.sort(function(a, b) { return a - b; });
  var half = floor(arr.length/2);
  if ( arr.length % 2 ) {
    return arr[half];
  } else {
    return (arr[half-1] + arr[half]) / 2.0;
  }
}

function minl1(arr) {
  var moves = 0;
  var mdn = median(arr);
  for ( var i = 0; i < arr.length; ++i ) {
    moves += Math.abs(mdn - arr[i]);
  }
  return moves;
}

minl1([3, 1, 1, 1]); // -> 2

Como o TCSGrad menciona, dada uma lista de números inteiros , você está procurando o número inteiro m que minimiza δ ( m ) = n ∑ i = 1 | m - x i | . É instrutivo calcular δ ( m + 1 ) - δ ( m ) : δ ( m + 1 ) - δ ( m ) $x_1,\ldots,x_n$$m$

$$\delta(m) = \sum_{i=1}^n |m - x_i|.$$ $\delta(m+1) - \delta(m)$ Comomvai de-∞a+∞, a quantidadeδ(m+1)-δ(m $$\delta(m+1) - \delta(m) = \sum_{i=1}^n \begin{cases} +1 & m \geq x_i \\ -1 & m < x_i \end{cases} = \#\{i : m \geq x_i\} - \#\{i : m < x_i\}.$$ $m$$-\infty$$+\infty$$\delta(m+1) - \delta(m)$vai de para n . Além disso, ele alterna valores apenas nos pontos x 1 , … , x n . Não é difícil verificar se um valor ótimo de m é o ponto mínimo no qual δ ( m + 1 ) - δ ( m ) ≥ 0 . Esse ponto mínimo é um dos x i , portanto a distância de edição é mínima ( δ ( x 1 ) , … , δ ( $-n$$n$$x_1,\ldots,x_n$$m$$\delta(m+1) - \delta(m) \geq 0$$x_i$ .$\min(\delta(x_1),\ldots,\delta(x_n))$

$x_i$$n$$m$$x_i$$\delta(m+1) - \delta(m) = 1$$\delta(m) - \delta(m-1) = -1$$m$$n$$x_i$$\delta$$x_i$

O problema pode ser formulado como um problema de LP:

$n$$[a_1,a_2... a_n]$

$$\min \sum |a_i - x|$$

$x$

$x$$x$

EDIT : Como apontado nos comentários, a função objetivo deve ser soma sobre diferenças absolutas. Para transformá-lo novamente em um LP padrão, podemos reescrevê-lo como:

$$\min \sum a'_i$$

sujeito a:

$$a'_i \geq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i \leq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i, x' \geq 0\ \forall i$$

$a_i' = | a_i - x|\ \forall i$$x$