O número de diferentes idiomas regulares

Dado um alfabeto $\Sigma = \{ a,b \}$ , quantas linguagens regulares diferentes existem que podem ser aceitas por um autômato finito não-determinístico do estado ? $n$

Como exemplo, vamos considerar . Temos então configurações de transição diferentes e configurações diferentes de estado inicial e final, portanto, temos um limite superior de idiomas diferentes. No entanto, muitos deles serão equivalentes e, uma vez que o teste é PSPACE-Complete, provavelmente não é possível testar cada configuração. Existem outros meios ou argumentos combinatórios que vinculam o número de idiomas diferentes aceitos por um determinado recurso? $n=3$ $2^{18}$ $2^3$ $2^{24}$

— john_leo
fonte

Existem apenas 3 configurações diferentes de estado inicial, não

2^{3}

$2^3$ .

— 8304 FrankW

Idéia rápida: as linguagens regulares são caracterizadas por finitas classes de equivalência, cf. Myhill-Nerode. Quantos conjuntos diferentes de classes de equivalência um autômato

n

$n$ state suporta?

— Raphael

Pode ser útil pesquisar no artigo "No número de idiomas distintos aceitos por autômatos finitos com n estados", de Domaratzki, Kisman e Shallit.

— Hendrik Jan

aqui está o URL do

— citeseer

encontrou quase a mesma pergunta em tcs.se: qual é o número de idiomas aceitos por um DFA de tamanho n?

— vzn

Este é um resumo do artigo Sobre o número de idiomas distintos aceitos pelos autômatos finitos com n Estados . O documento fornece limites relativamente fáceis, porém distantes, reduzidos e superiores do número de idiomas distintos aceitos pelos NFAs. A discussão deles sobre o número de DFAs distintos é muito esclarecedora, por isso também incluirei essa parte.

O artigo começa com um assintótico bastante rigoroso para o número de idiomas distintos aceitos por um DFA com estados em um alfabeto unário. Isso é feito observando sob quais condições um determinado DFA de estado unário é mínimo. Nesses casos, a descrição do autômato pode ser mapeada (bijetivamente) para uma palavra primitiva , e a enumeração de tais palavras é bem conhecida e feita com a ajuda da função Möbius . Usando esse resultado, os limites para alfabetos não unários, tanto no caso do DFA quanto no do NFA, são comprovados. $n$ $n$

Vamos entrar em mais detalhes. Para um alfabeto com letras , defina $k$ Observe que

\begin{aligned} f_{k} (n) & = o número de DFA mínimos não isomórficos aos pares com n estados \\ g_{k} (n) & = o número de idiomas distintos aceitos pelos DFAs com n estados \\ G_{k} (n) & = o número de idiomas distintos aceitos pelos NFA com n estados \end{aligned}

$\begin{align*} f_k(n) &= \text{the number of pairwise non-isomorphic minimal DFA's with } n \text{ states}\\ g_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by DFA's with } n \text{ states}\\ G_k(n) &= \text{the number of distinct languages accepted by NFA's with } n \text{ states} \end{align*}$

. Começamos com

g_{k} (n) = \sum_{i = 1}^{n} f_{k} (i)

$g_k(n) = \sum_{i=1}^n f_k(i)$

f_{1} (k)

$f_1(k)$

g_{1} (k)

$g_1(k)$

Enumeração de DFAs unários

Um DFA unário com estados é mínimo se $M = (Q, \{a\},\delta, q_0,F)$ $q_0,\dots, q_{n-1}$

Está conectado. Assim, após renomear, o diagrama de transição consiste em um loop e uma cauda, ou seja, e para alguns. $\delta(q_i,a) = q_{i+1}$ $\delta(q_{n-1},a)=q_j$ $j \leq n-1$
O loop é mínimo.
Se , então e $j \neq 0$ $q_{j-1} \in F$ oue. $q_{n-1} \notin F$ $q_{j-1} \notin F$ $q_{n-1} \in F$

O loop é mínimo se a palavra definida por $q_j,\dots, q_{n-1}$ $a_j \cdots a_{n-1}$ forprimitivo, o que significa que não pode ser escrito na forma para alguma palavrae algum número inteiro. O númerode palavras primitivas de comprimentosobre queé afunção Möbius. Com a ajuda de

{uma}_{Eu} = {\begin{cases} 1 E se q \in F, \\ 0 0 E se q \notin F \end{cases}

$\begin{equation*} a_i = \begin{cases} 1 \quad \text{if } q \in F, \\ 0 \quad \text{if } q \notin F \end{cases} \end{equation*}$

x^{k}

$x^k$

x

$x$

k \geq 2

$k \ge 2$

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$

n

$n$

k

$k$ alfabetos com letra é conhecido, ver, por exemplo, Lothaire, Combinatorics on Words . Temos

ψ_{k} (n) = \sum_{d | n} μ (d) k^{n / d}

$\begin{equation*} \psi_k(n) = \sum_{d | n} \mu(d) k^{n/d} \end{equation*}$

μ (n)

$\mu(n)$

ψ_{k} (n)

$\psi_k(n)$ o papel prova fórmulas exactas para

e mostra que assintoticamente (Teorema 5 e Corollary 6),

f_{1} (n)

$f_1(n)$

g_{1} (n)

$g_1(n)$

\begin{aligned} g_{1} (n) & = 2^{n} (n - α + O (n 2^{- n / 2})) \\ f_{1} (n) & = 2^{n - 1} (n + 1 - α + O (n 2^{- n / 2})) . \end{aligned}

$\begin{align*} g_1(n) &= 2^n \left(n-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right) \\ f_1(n) &= 2^{n-1}\left(n+1-\alpha+O \left(n 2^{-n/2} \right)\right). \end{align*}$

Enumeração de DFAs

O próximo passo é um limite inferior para . O teorema 7 afirma que Para um conjunto de um autômato , defina como a restrição de a . $f_k(n)$

f_{k} (n) \geq f_{1} (n) n^{(k - 1) n} \sim n 2^{n - 1} n^{(k - 1) n} .

$\begin{equation*} f_k(n) \ge f_1(n) n^{ (k-1)n} \sim n 2^{n-1}n^{(k-1)n}. \end{equation*}$

Δ \subset Σ

$\Delta \subset \Sigma$

M

$M$

M_{Δ}

$M_{\Delta}$

M

$M$

Δ

$\Delta$
A prova funciona considerando o conjunto

S_{k, n}

$S_{k,n}$ de do DFA

sobre o

-Carta alfabeto

definida por

M

$M$

k

$k$

{0, 1, \dots, k - 1}

$\{0,1,\dots,k-1 \}$

Permitir que seja um dos DFAs unários diferentes em estados e $M_{ \{0 \}}$ $f_1(n)$ $n$
Escolhendo quaisquer funções para e definindo $k-1$ $h_i : Q \to Q$ $1 \le i < k$ para e . $\delta(q,i) = h_i(q)$ $1 \le i < k$ $q \in Q$

A observação é então que contém línguas diferentes e mínimas. $S_{n,k}$ $f_1(n) n^{ (k-1)n}$

Enumeração de AFN

Para um tem o limite inferior trivial , já que todo subconjunto pode ser aceito por algum NFA com $G_1(n)$ $2^n$ $\epsilon, a,\dots, a^{n-1}$ $n$
$G_1(n) \le \left( \frac{c_1 n}{\log n}\right)^n$
$k \ge 2$

n 2^{(k - 1) n^{2}} \leq G_{k} (n) \leq (2 n - 1) 2^{k n^{2}} + 1

$\begin{equation*} n 2^{(k-1)n^2} \le G_k(n) \le (2n-1) 2^{kn^2} +1. \end{equation*}$

(q, a)

$(q,a)$

Q

$Q$

δ (q, a)

$\delta(q,a)$

2^{k n^{2}}

$2^{kn^2}$

{1, \dots, k}

$\{1,\dots,k\}$

k \in [0.. n - 1]

$k \in [0..n-1]$

M = (Q, Σ, δ, q_{0}, F)

$M=(Q,\Sigma,\delta,q_0, F)$

Σ = {0, 1, \dots, k - 1}

$\Sigma = \{ 0,1,\dots,k-1 \}$

Q = {q_{0}, \dots, q_{n - 1}}

$Q=\{ q_0,\dots, q_{n-1} \}$

δ

$\delta$

\begin{aligned} δ (q_{Eu}, 0 0) & = q_{(Eu + 1) \mod n} para 0 0 \leq Eu < n \\ δ (q_{Eu}, j) & = h_{j} (Eu) para 0 0 \leq Eu < n, 1 \leq j < k \end{aligned}

$\begin{align*} \delta(q_i,0) &=q_{(i+1) \mod n} \quad \text{for } 0 \le i <n \\ \delta(q_i,j) &=h_j(i) \quad \text{for } 0 \le i <n,\, 1 \le j < k \end{align*}$

h_{j} : {1, \dots, n - 1} \to 2^{Q}

$h_j: \{ 1,\dots,n-1\} \to 2^Q$

F = {q_{i}}

$F=\{q_i\}$

i \in [0.. n - 1]

$i \in [0..n-1]$

2^{(k - 1) n^{2}}

$2^{(k-1)n^2}$

n

$n$ maneiras de escolher o conjunto de estados finais. Pode-se então mostrar que nenhum desses NFAs aceita o mesmo idioma.

— john_leo
fonte