Se quaisquer 3 pontos são colineares

Dado um conjunto $S$ de pontos $p_1,..,p_2$ forneça o algoritmo mais eficiente para determinar se quaisquer 3 pontos do conjunto são colineares.

O problema é que comecei com a definição geral, mas não posso continuar resolvendo o problema.

O que podemos dizer sobre pontos colineares em geral, 3 pontos $a,b,c$ são colineares se a distância $d(a,c) = d(a,b)+d(b,c)$ no caso em que $b$ está entre $a$ e $c$.

A abordagem ingênua tem $O(n(n-1)(n-2))=O(n^3)$ complexidade do tempo.

Como resolver esse problema, qual deve ser o próximo passo?

Uma maneira simples é fixar um ponto $x$, calcule a inclinação da linha $xy$ e armazene-o em uma tabela de hash para todos os outros pontos $y$. Se houver uma colisão, temos pontos colineares envolvendo$x$. Isso leva$O(n)$ (se assumirmos que as operações da tabela de hash levam $O(1)$) Em seguida, fazemos isso para todos os pontos$x$ em tempo $O(n^2)$.

Além disso, se você estiver ciente da dualidade de linha de ponto (consulte o comentário de Artium abaixo), isso reduz a verificação da $n^2$ possíveis interseções de $n$ linhas, mas também utiliza tabelas de hash.

Também está aberto se isso pode ser feito em tempo sub-quadrático, como esse problema é difícil de 3-SUM, consulte esta resposta .