Localizando pelo menos dois caminhos do mesmo comprimento em um gráfico direcionado

Suponhamos que temos um gráfico dirigido e dois nós e . Gostaria de saber se já existem algoritmos para calcular o seguinte problema de decisão: $G=(V,E)$ $A$ $B$

Existem pelo menos dois caminhos entre e do mesmo comprimento? $A$ $B$

E a complexidade? Posso resolvê-lo em tempo polinomial?

Gostaria de adicionar uma nova restrição ao gráfico, talvez o problema seja mais solucionável. Na matriz de adjacência, todas as colunas não estão vazias. Portanto, todo nó tem pelo menos uma seta na entrada e também há pelo menos um nó conectado a ele. Portanto, se o nó é o ésimo nó, é uma aresta no gráfico. $i$ $(i,i)$

— Paolo Parisen T.
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Você quis dizer caminhos simples? (visitando cada nó no máximo uma vez). Também é permitido que eles tenham um nó interno comum?

não, não há restrição nos caminhos. você pode fazer um loop, se quiser.

— Paolo Parisen T.

Observação fácil é esta: se houver apenas um caminho simples entre e esse caminho simples estiver conectado a no máximo um loop, você poderia simplesmente dizer , se houver pelo menos dois loops de comprimento diferente conectados a esse caminho simples , você poderia dizer que sim, .... (acho que coisas semelhantes são úteis e você pode provar isso), mas no caso de caminhos simples disjuntos (se durante a prova disso você encontrou caminhos simples desarticulados), é o NPC.

A, B

$A,B$

N o

$No$

@ RM: Eu não vejo isso como uma duplicata. Pedir todas as caminhadas é uma operação que consome muito tempo (em geral, há um número infinito de caminhadas), enquanto o OP está pedindo dois caminhos (simples), nem todos os passeios.

— 26412 Dave Clarke

Respostas:

Considere um gráfico , queremos saber se existem dois caminhos diferentes de a do mesmo comprimento. O que fazer? Simples: codifique dois caminhos em um. Defina o gráfico com os vértices . Você faz um passo em , fazendo duas etapas independentes no . O bit adicional informa se os dois caminhos já se separaram. $G$ $A$ $B$ $G'$ $V \times V \times \{0,1\}$ $G'$ $G$

Formalmente, existe uma aresta em se se , em e . $(i,j,e) \to (i',j',e')$ $G'$ $i \to i'$ $j \to j'$ $G$ $e'=e ∨ (i,i')≠(j,j')$

O algoritmo verifica se existe um caminho para em , que é , ou algo como . $(A,A,0)$ $(B,B,1)$ $G'$ $O(V^4)$ $O((V+E)^2)$

Se você concordar que esse algoritmo está correto, como conseqüência, o caminho em tem um comprimento máximo de , portanto, possíveis "colisões de caminho" devem ocorrer o mais tardar nesse comprimento. Você pode obter um algoritmo partir desta observação, onde é a complexidade da multiplicação da matriz (pergunte se você precisa de um spoiler ...). $G'$ $2n^2$ $O(V^{\omega} \log V)$ $\omega$

Sinto fortemente que existe um algoritmo , que utiliza mais a estrutura do problema. $O(V+E)$

— sdcvvc
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Isso é elegante.

— Raphael

Provavelmente tenho uma resposta para esse problema, mas não tenho certeza de que funcione.

Não é importante "encontrar" os dois caminhos, a única coisa importante é "saber" se eles existem ou não. Eu não acho que este seja um problema completo do NP.

Portanto, tome a matriz de adjacência . Podemos facilmente supor que ele seja preenchido com valor 0,1. (0 = sem aresta; 1 = existe uma aresta) Vamos usar a seguinte álgebra com 3 valores (0,1,2), onde tudo funciona como de costume, exceto: ; $\textbf A$ $2+\text{<something>} = 2$ $2*\text{<whatever greater than 0>} = 2$

Portanto, se existem dois caminhos com o mesmo comprimento de espero que exista um valor tal que . $i,j$ $p$ $(\textbf A^p)_{i,j} = 2$

Seja o número de vértices no gráfico (ou, digamos, que tenha dimensão ). Não sei o valor de , mas se eu repetir multiplicando-se por no máximo devo encontrar a resposta. (assim, ) (o sentido é que i vá , em seguida, verificar i , então i vá e assim por diante ...) $n$ $\textbf A$ $n\times n$ $p$ $\textbf A$ $n^2$ $p<n^2$ $\text A$ $\text A^2$ $\text A^3$

aqui está a minha argumentação:

se os dois caminhos são caminhos simples, bem, funciona; se houver, no máximo eu tenho que repetir vezes. $n$
Se houver pelo menos um ciclo controlado ou se houver um caminho com dois ciclos, bem, tenho que encontrar o mínimo múltiplo comum (LCM). é um valor maior, com certeza, e em menos de vezes, se houver, eu devo encontrá-los. $n^2$ $n^2$
Se os dois caminhos são dois caminhos distintos, ambos com um ciclo, é mais ou menos semelhante a encontrar uma solução para essas duas equações: , onde e são o comprimento desses dois pontos distintos ciclos. Multiplicação de matrizes , como definido acima, diz "existe um caminho de a cujo comprimento é ?" Portanto, se é maior que , significa que há mais caminhos que levam de a . Ao iterar a matriz $\alpha + \beta m = \gamma + \delta k$ $m$ $k$ $\text A^q$ $i$ $j$ $q$ $\textbf A^q$ $1$ $i$ $j$ vezes passamos por toda a combinação possível de e . Com efeito, é definida como e nenhum ciclo pode ser maior do que . $n^2$ $\delta$ $\beta$ $LCM(a,b)$ $(a*b)/GCD(a,b)$ $n$

Paro para repetir uma vez que encontrei . $(\textbf A^p)_{i,j} = 2$

estou errado?

— Paolo Parisen T.
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Tentei o mesmo e encontrei alguns problemas / incertezas: 1) E se os caminhos estiverem conectados a mais de um ciclo? Você precisa "verificar" todas as combinações (na pior das hipóteses, cada nó repousa exponencialmente em muitos ciclos!), Explodindo o limite superior ou é suficiente considerar apenas um para cada um? 2) Devido às constantes compensações

, o LCM é realmente um limite superior?

α

$\alpha$

γ

$\gamma$

— Raphael

A propósito, não há necessidade de uma álgebra descolada: basta parar no momento em que você calcular um

como entrada da matriz.

2

$2$

— Raphael

n^{2}

$n^2$

n

$n$

α

$\alpha$

γ

$\gamma$

L C M (a, b) + α + γ < a * b + α + γ

$LCM(a,b) + \alpha+\gamma < a*b+\alpha + \gamma$

α + γ + a + b < n

$\alpha+\gamma+a+b < n$

a * b + α + γ

$a*b+\alpha+\gamma$

n^{2}

$n^2$