Interseção e união de uma língua regular e uma não regular

Seja $L_1$ regular, $L_1 \cap L_2$ regular, $L_2$ não regular. Mostre que $L_1 \cup L_2$ não é regular ou dê um contra-exemplo.

Eu tentei o seguinte: Veja . Este é regular. Posso construir um autômato finito para isso: é regular, é regular, portanto, remova todos os caminhos (quantidade finita) de da quantidade finita de caminhos para . Portanto, há uma quantidade finita de caminhos restantes para essa coisa toda. Isso não é comum em , mas como posso provar que a união de (regular) e (não regular) não é regular? $L_1 \setminus (L_2 \cap L_1)$ $L_1$ $L_2 \cap L_1$ $L_1 \cap L_2$ $L_1$ $L_2$ $L_1 \setminus (L_1 \cap L_2)$ $L_2$

formal-languages regular-languages

— Kevin
fonte

"remova todos os caminhos (quantidade finita) de da quantidade finita de caminhos de " - o que isso significa? A maneira usual de construir um autômato para a diferença é usando e as construções conhecidas para complemento e interseção.

L_{1} \cap L_{2}

$L_1\cap L_2$

L_{1}

$L_1$

A ∖ B = A \cap \bar{B}

$A \setminus B = A \cap \overline{B}$

— Raphael

Eu prefiro alterar o título desta pergunta. Por si só, o título da pergunta é uma afirmação errada.

— precisa saber é o seguinte

Respostas:

Podemos provar isso por contradição. Vamos definir . Então podemos reformular : $\overline{L_1} = \Sigma^* \setminus L_1$ $L_2$

$L_2 = ((L_1 \cup L_2) \setminus L_1) \cup (L_1 \cap L_2) = ((L_1 \cup L_2) \cap \overline{L_1}) \cup (L_1 \cap L_2)$

Nós sabemos:

Os idiomas regulares são fechados sob união, interseção e complemento
esão regulares $\overline{L_1}$ $L_1 \cap L_2$
não é regular $L_2$

Agora vamos supor é regular: Então é regular (como é apenas uma união / interseção de linguagens regulares), então seria regular. Isso é uma contradição, portanto nossa suposição é falsa e não pode ser regular. $L_1 \cup L_2$ $((L_1 \cup L_2) \cap \overline{L_1}) \cup (L_1 \cap L_2)$ $L_2$ $L_1 \cup L_2$

— Mike B.
fonte

Eu acho que entendi. Mas por que o complemento de um idioma regular é regular? Eu não entendo essa parte.

— 28412 Kevin

@ Kevin Este é um lema bem conhecido, então você deve encontrar uma prova em qualquer livro didático. Um método de prova é pegar um autômato finito e trocar os estados de aceitação e não aceitação: você obtém um autômato que reconhece o idioma do complemento.

— Gilles 'SO- stop be evil'

E para autômatos finitos não determinísticos? Suponha que tenhamos um autômato.

, um estado inicial, duas setas desse estado com

para outro estado. Um desses estados está aceitando e um não. Então

. Se agora trocarmos os estados aceitantes, ele ainda aceitará

, portanto, não é o que aceita a linguagem do complemento!

A = {a, b}

$A = \{a,b\}$

a

$a$

L (M) = {a}

$L(M)=\{a\}$

{a}

$\{a\}$

— 21712 Kevin

A prova de Gilles funciona apenas para autômatos finitos determinísticos, o que - para idiomas comuns - não é uma restrição. Mas, como ele disse, esse lema pode ser encontrado em qualquer livro didático.

— Mike B.

@ Kevin: Mike significa que toda linguagem comum possui um autômato determinístico para reconhecê-la, para que você sempre possa usar uma.

— reinierpost

-4

Isso esta errado. Considere , . é regular, não; mas . $L_1 = \{a, b\}^*$ $L_2 = \{a^n b^n : n \ge 0\}$ $L_1$ $L_2$ $L_1 \cup L_2 = L_1$

— vonbrand
fonte

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$