Minimizar a variação total de uma sequência de escolhas discretas

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Minha configuração é mais ou menos assim: eu tenho uma sequência de conjuntos de números inteiros , comrelativamente pequeno - na ordem de quatro ou cinco itens para todos . Quero escolher uma sequência com cada modo que a variação total ( ou , ou seja, ou ) é minimizado. Embora pareça que a escolha para cada seja 'local', o problema é que as escolhas podem se propagar e ter efeitos não locais e, portanto, o problema parece inerentemente global por natureza. $C_i (1\leq i\leq n)$ $|C_i|$ $i$ $x_i (1\leq i\leq n)$ $x_i\in C_i$ $\ell_1$ $\ell_2$ $\sum_{i=1}^{n-1} |x_i-x_{i+1}|$ $\sum_{i=1}^{n-1} \left(x_i-x_{i+1}\right)^2$ $x_i$

Minha principal preocupação está em um algoritmo prático para o problema; No momento, estou usando métodos de recozimento baseados em mutações subseqüentes curtas e, embora devam estar bem, parece que eu deveria fazer melhor. Mas também estou interessado na complexidade abstrata - meu palpite seria que a versão padrão da consulta ('existe uma solução de variação total ?') Seria NP-completa através da redução de algum problema de restrição como 3 SAT, mas não consigo ver a redução. Qualquer sugestão para o estudo anterior seria bem-vinda - parece um problema tão natural que não posso acreditar que não tenha sido analisado antes, mas minhas pesquisas até agora não revelaram nada parecido. $\leq k$

algorithms complexity-theory optimization

— Steven Stadnicki
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Boa pergunta! Apenas uma pergunta esclarecedora: o comprimento de é , mas você deve escolher algum elemento de cada ? Ou é bom ter algum número de conjuntos dos quais você não escolhe?

x_{i}

$x_i$

n

$n$

C_{i}

$C_i$

— Juho

@mrm Deve haver um elemento para cada - os s são indexados diretamente de assim como os s.

C_{i}

$C_i$

x

$x$

1 \dots n

$1\ldots n$

C

$C$

— Steven Stadnicki

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Aqui está um programa dinâmico. Suponha que para todos os por uma questão de clareza; o seguinte pode ser adaptado para funcionar se o tiver cardinalidades diferentes. Seja o custo mínimo de uma sequência nos primeiros conjuntos , terminando com . A seguinte recursão descreve : $C_i = \{C_{i_1}, \ldots, C_{i_m}\}$ $i \in [n]$ $C_i$ $\operatorname{Cost}(i, j)$ $i$ $C_{i_j}$ $\operatorname{Cost}$

$\qquad \displaystyle \begin{align} \operatorname{Cost}(1,j) &= 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad, 1\leq j \leq m \\ \operatorname{Cost}(i,j) &= \min_{k = 1}^m \left(\operatorname{Cost}(i - 1, k) + \lvert C_{(i-1)_k} - C_{i_j} \rvert\right) \ , 2 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m. \end{align}$

O custo mínimo geral é ; a sequência real de escolhas pode ser determinada examinando os argumentos ao longo do caminho. O tempo de execução é . $\min_{j = 1}^m \text{Cost}(n, j)$ $O(nm)$

— conta
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Tentei melhorar a clareza da sua resposta na formatação e na apresentação; por favor, verifique se eu não estraguei tudo. Seria bom se você incluísse um argumento sobre por que o que você propõe está correto.

— Raphael

Considerando a resposta de Nicholas , isso é semelhante ao algoritmo de Bellman-Ford, adaptado ao problema em questão.

— Raphael

Ambas as respostas são realmente excelentes (e, como Raphael observa, muito semelhantes), mas, embora eu goste da ampla aplicabilidade da outra, eu realmente prefiro essa por sua aplicação direta à minha pergunta em particular. Obrigado!

— Steven Stadnicki

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Parece que isso pode ser resolvido simplesmente computando o caminho mais curto em um gráfico acíclico direcionado. O raciocínio é que sua função objetivo minimiza a distância total entre "vizinhos" selecionados em seus conjuntos . $\mathcal{C} = \{C_1, \dotsc, C_n\}$

Construa um gráfico em estágios onde cada corresponde a um elemento exclusivo . Para cada , adicione uma aresta direcionada cujo custo seja a ou . $n$ $G = (\bigcup_{i=1}^n V_i, E)$ $v \in V_i$ $x \in C_i$ $u \in V_i, v \in V_{i+1}$ $(u, v)$ $\ell_1$ $\ell_2$

Agora adicione um vértice de origem com arestas de custo 0 a e um vértice de afundamento com arestas de custo 0 de . Como é um DAG e as duas funções de distância forçam os custos de borda a não serem negativos, é possível calcular o caminho mais curto em com classificação topológica e programação dinâmica (semelhante à descrição aqui ). $s$ $V_1$ $t$ $V_n$ $G$ $O(V + E)$

— Nicholas Mancuso
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