Número máximo de pontos que dois caminhos podem alcançar

Suponha que recebamos uma lista de $n$ pontos, cujos $x$ e $y$coordenadas são todas não-negativas. Suponha também que não haja pontos duplicados. Só podemos ir do ponto$(x_i, y_i)$ apontar $(x_j, y_j)$ E se $x_i \le x_j$ e $y_i \le y_j$. A questão é: dadas essas$n$pontos, qual é o número máximo de pontos que podemos alcançar se pudermos desenhar dois caminhos que conectam pontos usando a regra acima? Os caminhos devem começar a partir da origem e podem conter pontos repetidos.$(0, 0)$ é claro que não está incluído nos pontos alcançados.

Um exemplo: dado $(2, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (2, 4), (1, 5), (1, 6)$, a resposta é $8$ já que podemos pegar $(0, 0) \rightarrow (2, 0) \rightarrow (2, 1) \rightarrow (2, 3) \rightarrow (2, 4)$ e $(0, 0) \rightarrow (1, 2) \rightarrow (1, 3) \rightarrow (1, 5) \rightarrow (1, 6)$.

Se pudermos desenhar apenas um caminho, eu posso resolver facilmente a questão pela programação dinâmica executada em $O(n^2)$. Eu primeiro classifico os pontos diminuindo$x_i+y_i$. Deixei$D[i]$ ser o número máximo de moedas que se pode pegar em moedas $1$ para $i$na lista classificada. Então$D[1] = 1$ e $D[i] = \max\limits_{1\le j < i, x_j \le x_i, y_j \le y_i} D[j] + 1$. A resposta então é apenas$\max\limits_{1\le i \le n} D[i] + 1$.

Mas não consigo criar uma relação de recorrência para dois caminhos. Se alguém tiver alguma idéia sobre essa relação de recorrência, ficaria feliz em saber o que são.

O problema, reafirmado e generalizado: dado um conjunto finito $S$equipado com uma ordem parcial $\le$encontrar correntes $C_1, C_2 \subseteq S$ maximizando $\lvert C_1 \cup C_2 \rvert$. A questão é sobre o caso em que$S \subseteq \mathbb R_+^2$ e $(x, y) \le (z, w) \Longleftrightarrow x \le z \wedge y \le w$.

Ingenuamente, pode-se tentar encontrar a melhor cadeia em $S^2$, onde melhor é medido por quantos valores distintos os componentes da cadeia possuem. Infelizmente, um componente pode refazer as etapas do outro, por exemplo,

$$\bigl((0,0),(0,0)\bigr) < \bigl((1,0),(0,0)\bigr) < \bigl((2,0),(0,0)\bigr) < \bigl((2,0),(1,0)\bigr),$$ então essa noção de melhor não tem uma subestrutura ideal.

Em vez disso, procuramos cadeias no conjunto $T := \{(x, y) \mid (x, y) \in S^2 \wedge x \nless y \wedge y \nless x\}$. Ao exigir que os componentes sejam iguais ou incomparáveis, evitamos retroceder, mas agora precisamos argumentar que alguma melhor cadeia está em conformidade com o novo requisito.

Lema 1 (sem refazer). Deixei$C \subseteq T$ ser uma cadeia e definir $C_1 := \{x \mid (x, y) \in C\}$ e $C_2 := \{y \mid (x, y) \in C\}$. Para todos$z \in S$, temos $z \in C_1 \cap C_2$ se e apenas se $(z, z) \in C$.

Prova. A direção if é trivial. Na única direção se, para todos$z \in C_1 \cap C_2$existe $x, y \in S$ de tal modo que $(x, z), (z, y) \in C$. Desde a$C$ é uma corrente $(x, z) \le (z, y) \vee (z, y) \le (x, z)$. Suponha simetricamente que$(x, z) \le (z, y)$, o que implica que $x \le z \le y$. Nós sabemos pela definição de$T$ aquele $x \nless z \wedge z \nless y$, tão $x = z = y$e $(z, z) \in C$.

Lema 2 (existência de melhor cadeia restrita). Para todas as cadeias$C_1, C_2 \subseteq S$, existe uma cadeia $C \subseteq T$ de tal modo que $C_1 \subseteq \{x \mid (x, y) \in C\} \subseteq C_1 \cup C_2$ e $C_2 \subseteq \{y \mid (x, y) \in C\} \subseteq C_1 \cup C_2$.

Prova (revisada). Damos um algoritmo para construir$C$. Por conveniência, defina sentinelas$\bot, \top$ de tal modo que $\bot < x < \top$ para todos $x \in S$. Deixei$C_1' := C_1 \cup \{\top\}$ e $C_2' := C_2 \cup \{\top\}$.

1. Inicializar $C := \varnothing$ e $x := \bot$ e $y := \bot$. Um invariante é que$x \nless y \wedge y \nless x$.

2. Deixei $x'$ be the next element of $C_1$, that is, $x' := \inf \{z \mid z \in C_1' \wedge x < z\}$. Let $y'$ be the next element of $C_2$, that is, $y' := \inf \{w \mid w \in C_2' \wedge y < w\}$.

3. If $x' \nless y' \wedge y' \nless x'$, set $(x, y) := (x', y')$ and go to step 9.

4. If $y < x' < y'$, set $(x, y) := (x', x')$ and go to step 9.

5. If $y \nless x' < y'$, set $x := x'$ and go to step 9. Note that $x < x' \wedge x \nless y$ implies that $x' \nless y$.

6. If $x < y' < x'$, set $(x, y) := (y', y')$ and go to step 9.

7. If $x \nless y' < x'$, set $y := y'$ and go to step 9. Note that $y < y' \wedge y \nless x$ implies that $y' \nless x$.

8. This step is never reached, as the conditions for steps 3–7 are exhaustive.

9. If $x \ne \top$ (equivalently, $y \ne \top$), set $C := C \cup \{(x, y)\}$ and go to step 2.

Dynamic Program. For all $(x, y) \in T$, compute

$$D[x, y] := \sup\biggl(\Bigl\{D[z, w] + [x \ne z] + [y \ne w] - [x = y] \mathrel{\Bigl|\Bigr.} (z, w) \in T \wedge (z, w) < (x, y)\Bigr\} \cup \bigl\{2 - [x = y]\bigr\}\biggr),$$ where $[\textit{condition}] = 1$ if $\textit{condition}$ is true and $[\textit{condition}] = 0$ if $\textit{condition}$ is false. By Lemma 1, it follows that the bracket expressions correctly count the number of new elements. By Lemma 2, the optimal solution to the original problem is found.

Let $P = p_1\dots p_n$ to sorted list of points.

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Following your recurrence for one path, the first thing to note is that you have to keep track of which points have been visited by the paths; otherwise you can not count correctly. The second thing is that you have now four possibilities for every point: neither path may use it, one of them or both. So, we have to find maximising combinations for all three cases.

Formally, let $d : [0\dots n] \to (2^{[n]} \times 2^{[n]})^3$ with $d(i)$ the pair of (sets of) visited nodes of the two paths that maximise the number of visited points from the input set up to the $i$th one, with the first component the maximising pair of paths for which the first one uses $p_i$, the second component similar for the second path and the third component with both paths using $p_i$. $d$ is given by the recurrence

$\quad \displaystyle \begin{align} d(0) &= ((\emptyset, \emptyset),(\emptyset, \emptyset),(\emptyset, \emptyset)) \\ d(i) &= (\ \arg\max_{(L,R) \in (\mathcal{L}' \times \mathcal{R})_i} |L \cup R|, \\ &\phantom{= (\ } \arg\max_{(L,R) \in (\mathcal{L} \times \mathcal{R}')_i} |L \cup R|, \\ &\phantom{= (\ } \arg\max_{(L,R) \in (\mathcal{L}' \times \mathcal{R}')_i} |L \cup R| \ ) \\ \end{align}$

with

$\quad \displaystyle (\mathcal{L}' \times \mathcal{R})_i = \left\{ (L \cup \{i\}, R) \mid (L,R) \in \bigcup_{j=0}^{i-1} d(j), x_i \geq \max_{j \in L} x_j, y_i \geq \max_{j \in L} y_j \right\}$,

$(\mathcal{L}' \times \mathcal{R})_i$ similar with extending $R$ and $(\mathcal{L}' \times \mathcal{R}')_i$ similar with extending both $L$ and $R$.

Needless to say, this is not very nice. This is because the problem does not lend itself to dynamic programming very well: you can not combine many partial solutions because there is no nice total ordering on the points, and you can not discard intermediate results for the same reason.

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A nicer view on the problem is to model the set of points as weighted directed acyclic graph $G = (V, E, w)$ with

• $V = \{(0,0), p_1, \dots, p_n, (X,Y)\}$ with $X = \max x_i$, $Y = \max y_i$, and
• $E = \{ ((x_1, y_1),(x_2,y_2)) \in V^2 \mid x_i \leq x_j, y_i \leq y_j\}$ and
• $w(v_1,v_2) = \begin{cases} 0 &, v_2 = (X,Y) \\ 1 &, \text{ else}\end{cases}$.

Note that you can keep the graph smaller if you remove redundant edges, that is remove $(v_1,v_2)$ if there is a path $(v_1,\dots,v_2)$, because taking such "shortcuts" is never better advantageous.

For one path, the solution is clearly the length of the longest path $P^*$ from $(0,0)$ to $(X,Y)$. Now, if we change $w$ so that all edges leading to points on $P^*$ also have weight $0$ and compute the longest path in this modified graph, we get a path $P^+$ so that $P^*$ and $P^+$ together cover as many points as two paths can. This leaves us with a runtime in $O(|V| + |E|) \subseteq O(n^2)$ (see here).