O segundo bit de paridade no RAID 6 é um cálculo simples?

Estou tentando entender como o segundo bit ou byte de paridade é definido no RAID 6. Estou lendo um artigo de H. Peter Anvin e ele entra na álgebra de campo de Galois, que é algo novo para mim. De qualquer forma, um representante da HP estava tentando me explicar o RAID 6 e ela pensou que eram apenas duas operações XOR, uma para o 1º bit de paridade e outra para o 2º. Isso não faz sentido para mim, mas como ainda estou trabalhando no documento, não sei se isso se reduz a algo simples para o RAID 6 em vez do RAID n. Parece-me que o segundo bit de paridade é um pouco mais complicado do que o primeiro bit de paridade baseado em XOR. Isso é verdade?

O caso geral é realmente um pouco complicado.

No entanto, no caso de 4 discos, você pode simplificá-lo bastante; você realmente não precisa conhecer nenhuma matemática sofisticada. Você só precisa saber como armazenar 4 bits de forma redundante e já sabe tudo; basta repetir o mesmo esquema para cada grupo de 4 bits que você precisa armazenar.

Podemos representar o esquema como tabelas 4 x 4. Os primeiros 2 bits de nossos dados determinam a linha e os últimos 2 bits de nossos dados determinam a coluna.

Disco 1: Apenas armazene os 2 primeiros bits. Isso é:

00 00 00 00
01 01 01 01
10 10 10 10
11 11 11 11

Disco 2: Apenas armazene os últimos 2 bits. Isso é:

00 01 10 11
00 01 10 11
00 01 10 11
00 01 10 11

Por enquanto, tudo bem. Dado o disco 1 + o disco 2, podemos recuperar nossos dados originais: o disco 1 nos informa a linha (os 2 primeiros bits dos dados originais) e o disco 2 nos informa a coluna (os últimos 2 bits dos dados originais).

Disco 3: É o que fazemos no RAID5, apenas XOR os bits:

00 01 10 11
01 00 11 10
10 11 00 01
11 10 01 00

Mais uma vez, está tudo bem. Você pode recuperar os dados originais usando o disco 1 + disco 3 ou o disco 2 + disco 3. Uma observação importante é que a tabela de pesquisa do disco 3 forma um quadrado latino : todos os elementos de cada linha são distintos e todos os elementos de cada coluna são distinto. Por exemplo, se você conhece os dados no disco 1, conhece a linha correta e pode usar os dados no disco 3 para recuperar a coluna. Por outro lado, se você conhece os dados no disco 2, conhece a coluna da direita e pode usar os dados no disco 3 para recuperar a linha.

Disco 4: Aqui podemos usar a seguinte tabela de pesquisa:

00 01 10 11
10 11 00 01
11 10 01 00
01 00 11 10

Não se preocupe como é construído; nós realmente não nos importamos com isso. As propriedades cruciais são:

• As tabelas de pesquisa do disco 3 e do disco 4 são quadrados latinos. Portanto, se você souber 1 + 3 ou 1 + 4 ou 2 + 3 ou 2 + 4, poderá recuperar a linha e a coluna (ou seja, os dados originais).

• As tabelas de pesquisa do disco 3 e do disco 4 formam quadrados latinos ortogonais , o que torna possível recuperar os dados se tivermos apenas os discos 3 + 4.

Vamos elaborar sobre o segundo ponto. Concatenando as tabelas de pesquisa do disco 3 e do disco 4, obtemos esta matriz:

0000 0101 1010 1111
0110 0011 1100 1001
1011 1110 0001 0100
1101 1000 0111 0010

Agora observe que cada sequência de 4 bits ocorre nesta tabela exatamente uma vez. Ou seja, se soubermos o que está armazenado nos discos 3 + 4, saberemos onde estamos nesta tabela. Conhecemos a linha e a coluna e, portanto, podemos recuperar os dados originais.

Se você insistir em ver a conexão com os campos de Galois, considere o campo . Rotule os elementos do campo com ; estes correspondem a cadeias de 2 bits ( ≈ , ≈ , ≈ , ≈ ). Agora qualquer cadeia de 4 bits podem ser codificar como um par , onde .$F = GF(2^2)$$F = \{0,1,x,x+1\}$$0$00$1$01$x$10$x+1$11$(a,b)$$a,b \in F$

Um par agora é armazenado da seguinte forma:$(a,b)$

• O disco 1 armazena .$a$
• O disco 2 armazena .$b$
• O disco 3 armazena .$a+b$
• O disco 4 armazena .$xa+b$

Agora, por exemplo, apenas e , você pode resolver e . Usando a regra , você pode encontrar$p = a+b$$q = xa+b$$a$$b$$2 \equiv 0$

• $p + q = (xa+b) + (a+b) = (x+1)a + 2b \equiv (x+1)a$ .
• $p + xq = (xa+b) + x(a+b) = 2xa + (x+1)b \equiv (x+1)b$ .

Em seguida, divida por para obter e , etc. Mas, no final, esta abordagem dá-lhe precisamente as mesmas tabelas de pesquisa como o que foi apresentado acima.$x+1$$a$$b$

A computação para é definitivamente mais difícil do que a computação XOR necessária para embora seja, em certo sentido, o mesmo tipo de cálculo: uma avaliação polinomial.$Q$$P$

Sem as técnicas computacionais detalhadas descritas no link, a idéia é considerar os bytes de dados / unidades , como os coeficientes de um polinômio . Então,$n$$D_0$$D_1, \ldots, D_{n-1}$$D(x) = D_0 + D_1x + \cdots + D_{n-1}x^{n-1}$

$\qquad \begin{align*} P &= D(1) = D_0 \oplus D_1 \oplus \cdots \oplus D_{n-1}\\ Q &= D(\alpha) = D_0 \oplus D_1\cdot\alpha \oplus \cdots \oplus D_{n-1}\cdot\alpha^{n-1}\\ &= ((\cdots(D_{n-1}\cdot\alpha \oplus D_{n-2})\cdot\alpha \oplus \cdots \oplus D_1\cdot\alpha) \oplus D_0 \end{align*}$

onde é um elemento (indicado por no documento citado pelo OP) do campo Galois GF (também indicado como ) cujos os elementos são os bytes de bits e a segunda linha da equação para pode ser reconhecida como regra de Horner. Obviamente, o cálculo para também pode ser pensado como usando a regra de Horner, exceto que estamos ignorando as multiplicações por como NOPs e eliminando todos os parênteses na regra de Horner, pois são desnecessários.$\alpha$$\{02\} = (00000010)$$(2^8)$$\mathbb F_{2^8}$$256$$256$ $8$$Q$$P = D(1)$$1$

Após a gravação das unidades,

• Se um ou ambos e falharem, não há problema; e podem ser recalculados e armazenados em unidades de substituição.$P$$Q$$P$$Q$

• Se a única falha for uma unidade de dados, digamos a ésima unidade, seu conteúdo poderá ser recalculado, pois $i$

  $$D_i = D_0 \oplus D_1 \oplus \cdots \oplus D_{i-1} \oplus D_{i+1} \oplus \cdots \oplus D_{n-1} \oplus P.$$

• Se uma unidade de dados e falhar, a unidade de dados poderá ser recalculada conforme descrito acima e, em seguida, poderá ser recalculada.$Q$$Q$

• O que fazer nos outros casos: uma unidade de dados e falha ou duas unidades de dados com falha são mais complicadas de descrever, mas os métodos podem ser entendidos mais facilmente usando a perspectiva polinomial descrita aqui. Por exemplo, se as unidades -ésima e -ésima falharem, a reconstrução é efetivamente a solução das equações simultâneas: onde o lado direito pode ser calculado a partir do conteúdo das unidades sem falhas.$P$$i$$j$

  $$\begin{align*} D_i \oplus D_j &= P \oplus \sum_{k: k \neq i, j} D_k\\ \alpha^i\cdot D_i \oplus \alpha^j \cdot D_j &= Q \oplus \sum_{k: k \neq i, j} D_k\cdot\alpha^k. \end{align*}$$

Os três discos RAID-6 são triviais: armazene as mesmas informações no disco 1, disco 2 e disco 3. Quaisquer dois discos podem falhar e você ainda pode recuperar os dados. Portanto, um RAID-6 de três discos é basicamente apenas um RAID-1 de três discos.

No caso de quatro discos , existem dois "discos" de dados (vamos chamá-los$A$ e $B$) e dois "discos" paritários (vamos chamá-los $P$ e $Q$) Além disso, temos que operar em dois bits de cada disco de cada vez, para que o item de dados mínimo (cuja geração de paridade seja mostrada aqui) seja de quatro bits: Dois bits no disco$A$ e dois bits no disco $B$. Isso irá gerar dois bits de paridade$P$ e mais dois bits de paridade $Q$. Se tivermos mais bits, apenas repetiremos esse esquema, conforme necessário.

A primeira paridade $P$ é calculado normalmente, usando um XOR padrão ($⊕$) esquema:

$P = A ⊕ B$

Pela segunda paridade $Q$, precisamos alterar um dos itens de dados antes de executar o XOR, para que ele se torne diferente de $P$:

$Q = A ⊕ B^*$

O mutilado $B^*$ é calculado a partir de $B$ da seguinte maneira: O primeiro bit de $B^*$ é o XOR dos dois bits de $B$e o segundo pedaço de $B^*$ é uma cópia do primeiro bit de $B$:

$B^* = (B^*_1, B^*_2) = (B_1 ⊕ B_2, B_1)$

A fórmula acima leva à seguinte tabela para o cálculo de $B^*$ de $B$:

$00 \rightarrow 00$
$01 \rightarrow 10$
$10 \rightarrow 11$
$11 \rightarrow 01$

Observe que o valor $00$ permanece inalterado, quando mutilado, enquanto os outros valores passam por um ciclo de três: $01 \rightarrow 10 \rightarrow 11 \rightarrow 01$.

A desmontagem é bastante simples: por causa da propriedade cíclica, basta repetir a desmontagem duas vezes para desmontar. Ou inverta a fórmula acima para$B^*$, o que leva a:

$B = (B^*_2, B^*_1 ⊕ B^*_2)$

Portanto, a desmontagem é um tanto simétrica à desmontagem.

Agora vem a mágica, que mais tarde nos permitirá recuperar o cenário, que os dois discos de dados falham e apenas os discos de paridade sobrevivem: O que acontece, se $B$ e $B^*$obter XORed? Agora, vamos dar uma olhada:

$B ⊕ B^* = (B_1, B_2) ⊕ (B_1 ⊕ B_2, B_1) = (B_1 ⊕ B_1 ⊕ B_2, B_1 ⊕ B_2) = (B_2, B_1 ⊕ B_2)$

O bom resultado: XORing $B$ e $B^*$ é idêntico a executar uma etapa de desmontagem $B$. portanto$B$ pode ser recuperado de $B ⊕ B^*$ aplicando um mangle a ele: $B = (B ⊕ B^*)^*$. E como$(B ⊕ B^*)$ é o resultado de XORing dos dois valores de paridade $P$ e $Q$, a recuperação somente dos discos de paridade se torna possível.

Agora, temos tudo juntos: Para armazenar $A$ e $B$ em um RAID-6, calculamos primeiro o dado mutilado $B^*$e a paridade padrão $P$ de $A$ e $B$ e a paridade mutilada $Q$ de $A$ e $B^*$:

$B^* = (B_1 ⊕ B_2, B_1)$
$P = A ⊕ B$
$Q = A ⊕ B^*$

A recuperação após falha de dois discos é a seguinte:

• E se $A$ e $B$ sobreviver, apenas recalcular $P$ e $Q$.
• E se $A$ e $P$ sobreviver, recuperar $B = P ⊕ A$, em seguida, recalcular $Q$.
• E se $B$ e $P$ sobreviver, recuperar $A = P ⊕ B$, em seguida, recalcular $Q$.
• E se $A$ e $Q$ sobreviver, recuperar $B^* = Q ⊕ A$, então recupere $B$ de $B^*$ através de uma operação de desmembramento (ou um duplo desmonte), em seguida, recalcule $P$.
• E se $B$ e $Q$ sobreviver, calcular o mutilado $B^*$ de $B$, então recupere $A = Q ⊕ B^*$, em seguida, recalcular $P$.
• E se $P$ e $Q$ sobreviver, use a fórmula explicada acima $B = (P ⊕ Q)^*$, então recupere $A = P ⊕ B$.

No caso de cinco discos , existem três discos de dados$A$, $B$ e $C$ e novamente dois discos de paridade $P$ e $Q$. A diferença mais notável é que o mangle é realizado duas vezes em$C$, ao calcular $Q$:

$P = A ⊕ B ⊕ C$
$Q = A ⊕ B^* ⊕ C^{**}$

A recuperação no estojo de cinco discos segue os mesmos princípios que no estojo de quatro discos. Nesses casos, esses dois discos de dados e$P$ ou $Q$sobrevive, é preciso retirar dois valores da paridade em vez de apenas um e seguir com a função de desmontagem correta no caso de$Q$. Por exemplo,$C$ é recuperado de $A$, $B$ e $Q$ do seguinte modo: $C = (Q ⊕ A ⊕ B^*)^*$.

O caso mais complicado é, se os discos $A$, $P$ e $Q$sobreviver. Então$A$ é o primeiro XOR fora de $P$ e $Q$, e depois $(P ⊕ A)$ é mutilado antes de XORing com $(Q ⊕ A)$. Que mapeia$B$ e deixa liso $C$:

$(P ⊕ A)^* ⊕ (Q ⊕ A) = (A ⊕ B ⊕ C ⊕ A)^* ⊕ (A ⊕ B^* ⊕ C^{**} ⊕ A) =$
$= (B ⊕ C)^* ⊕ (B^* ⊕ C^{**}) = (B^* ⊕ C^*) ⊕ (B^* ⊕ C^{**}) =$
$= B^* ⊕ C^* ⊕ B^* ⊕ C^{**} = B^* ⊕ B^* ⊕ C^* ⊕ C^{**} = (C ⊕ C^*)^* =$
$= (C^{**})^* = C^{***} = C$

Para seis ou mais discos , o princípio permanece o mesmo, mas a operação do mangle precisa ser substituída por uma que tenha um ciclo mais longo. Isso também requer o uso de mais bits. Com quatro bits, uma possível operação de mangle é:

$M^* = (M_1 ⊕ M_4, M_1, M_2, M_3)$

$0000$ é novamente mapeado em $0000$, enquanto todos os outros valores passam por um ciclo de 15 estágios: $0001 \rightarrow 1000 \rightarrow 1100 \rightarrow 1110 \rightarrow 1111 \rightarrow 0111 \rightarrow 1011 \rightarrow 0101 \rightarrow 1010 \rightarrow 1101 \rightarrow 0110 \rightarrow 0011 \rightarrow 1001 \rightarrow 0100 \rightarrow 0010 \rightarrow 0001$

Com seu ciclo de 15 estágios, esse mangle op pode ser usado para até 15 discos de dados e dois discos de paridade. Para o$P$ paridade, todos os valores são XORed juntos como estão e, para $Q$, o primeiro dado dos discos não é desconfigurado, o segundo dado é desconfigurado uma vez, o terceiro dado é desconfigurado duas vezes e assim por diante.

Parece muito complicado para mim .

Assim, na fórmula acima, o cálculo de P é apenas o XOR de cada faixa. Isso ocorre porque a adição em qualquer característica de dois campos finitos reduz à operação XOR. O cálculo de Q é o XOR de uma versão deslocada de cada faixa.

(P é o primeiro bit de paridade e Q é o segundo.)

Parece que a explicação que você obteve é ​​uma descrição válida de alto nível do cálculo, sem entrar na teoria matemática e nos detalhes que nem você (ela ou eu, ou a maioria das outras pessoas) realmente entende.