Como detectar a ordem da pilha?

Tomamos a sequência de números inteiros de $1$ para $n$, e os empurramos para uma pilha, um por um, em ordem. Entre cada push, podemos optar por exibir qualquer número de itens da pilha (de 0 ao tamanho atual da pilha).

Sempre que extrairmos um valor da pilha, imprimi-lo-emos.

Por exemplo, $1,2,3$é impresso quando o fazemos push, pop, push, pop, push, pop.$3,2,1$vem de push, push, push, pop, pop, pop.

Contudo, $3,1,2$ não é uma impressão possível, porque não é possível ter $3$ impresso seguido por $1$, sem ver $2$ entre.

Pergunta: Como podemos detectar pedidos impossíveis como$3,1,2$?

De fato, com base em minha observação, saí em uma solução potencial. Mas o problema é que não posso provar que minha observação está completa.

O programa que escrevi com a seguinte lógica:

Quando o valor atual menos o próximo valor for maior que 1, um valor entre atual e o próximo não poderá aparecer após o próximo. Por exemplo, se current = 3 e next = 1, o valor entre current (3) e next (1) é 2 que não pode aparecer após next (1), portanto$3,1,2$ viola a regra.

Isso cobre todos os casos?

Não consegui entender exatamente sua abordagem (parece correta), mas existe uma regra simples para pedidos impossíveis: o pedido é impossível $iff$ Há sim $a_i,a_j,a_k$ de tal modo que $a_i > a_k > a_j$ e $i<j<k$. Para tal$a_i,a_j,a_k$ dizemos triplo ruim.

Por quê? Primeiro, você deve provar que, se houver um triplo ruim, a sequência é impossível, mas isso é simples, e eu o deixarei como exercício (o número do meio não pode aparecer mais cedo que o maior, exceto que o menor aparece antes de todos).

Segundo, você deve provar que todas as ordens impossíveis têm pelo menos um triplo ruim. Suponha que você tenha uma sequência sem nenhum triplo ruim; você pode encontrar a ordem de empurrar e saltar para que não seja uma sequência impossível. Para reconstruir as ordens push e pop, use apenas uma abordagem ingênua (a operação é pop enquanto você itera sobre números consecutivos), mas, para uma prova formal (por simplicidade), você pode usar a indução, assumir por todas as seqüências de comprimento$m$se não houver triplo ruim, não serão impossíveis. Para sequência de comprimento$n$, você pode definir operações como pop (iniciar do final da sequência) e, ao encontrar números consecutivos crescentes, agora você tem uma sequência de comprimento $m$com $m < n$, sem triplo ruim, para que você possa reconstruir o push e o pop nessa sequência, então a original não era impossível. O início da indução é a sequência de comprimento 3.