Como posso encontrar o número mínimo necessário para adicionar à sequência, de modo que seu xor se torne zero

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Dada uma sequência de números naturais, você pode adicionar qualquer número natural a qualquer número na sequência, de modo que seu xor se torne zero. Meu objetivo é minimizar a soma dos números adicionados.

Considere os seguintes exemplos:

Para a resposta é ; adicionando a , obtemos . $1, 3$ $2$ $2$ $1$ $3 \oplus 3=0$
Para a resposta é ; somando a e a , obtemos . $10, 4, 5, 1$ $6$ $3$ $10$ $3$ $5$ $13 \oplus 4 \oplus 8 \oplus 1 = 0$
Para a resposta é , pois . $4, 4$ $0$ $4 \oplus 4 = 0$

Tentei trabalhar em representações binárias do número de sequência, mas ficou muito complexo. Quero saber se existe alguma maneira simples e eficiente de resolver esse problema.

algorithms integers xor

— Pravin Gadakh
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Uma declaração mais clara do mesmo problema de um pôster diferente em math.SE pode ser encontrada aqui , juntamente com outra resposta.

— precisa saber é o seguinte

Problema interessante. Parece um problema de soma de subconjunto em que o operador de soma é substituído por XOR e, de tal forma que (se o subconjunto não for XOR para 0), o conjunto será XORed com outro conjunto ...

(s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n})

$(s_1,s_2,\ldots,s_n)$

{0, 1}^{n} \cdot (k, k, \dots, k)

$\{0,1\}^n \cdot (k,k,\ldots,k)$

— user13675

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Parece-me que contém todas as informações necessárias: os bits em são os bits que você precisa inserir (exatamente) um dos . Como você só pode adicionar , você precisa encontrar um onde o bit correspondente é e invertê-lo - isso causa o mesmo custo para todos os , ou seja, , portanto a escolha não importa. O problema começa se não houver tal . $a = a_i \oplus \dots \oplus a_n$ $1$ $a$ $a_i$ $a_i$ $j$ $0$ $a_i$ $2^j$ $a_i$

É por isso que você precisa fazer isso iterativamente e trabalhar a partir do menos significativo. Proceda como acima; se não houver um adequado , escolha o com o número máximo de bits restante da posição atual - isso aumenta a chance de encontrar um candidato adequado em futuras iterações -, vire o bit e continue, isso é inverter tudo uns para a esquerda até você virar um zero para um. Observe que ainda adicionamos ). Como carry se propaga apenas para a esquerda, as escolhas anteriores não são invalidadas. Recompute e continue com ; itere até que você tenha . $a_i$ $a_i$ $1$ $2^j$ $a$ $j+1$ $a=0$

Note-se que esta é apenas uma heurística, tanto quanto eu posso dizer: a escolha do pode ser subótimo se faz com que muitos bits em tornar-se não-zero. Não tenho certeza se isso pode ser evitado. $i$ $a$

— Rafael
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Na verdade, não tenho uma solução, mas aqui estão algumas idéias que surgiram.

Se você observar os resultados do XOR de todos os números na sequência, isso fornecerá um limite superior para o número de adições que você precisa fazer. Por exemplo, no seu exemplo de , temos , portanto, você sabe que não precisa adicionar mais de (porque o 8-bit é o conjunto mais alto). Distribuir até oito "unidades" distribuídas de quatro maneiras é um conjunto bastante pequeno de combinações. Não me lembro dessa fórmula tão tarde da noite, mas há umlá em algum lugar. $10, 4, 5, 1$ $10 \oplus 4 \oplus 5 \oplus 1 = 10$ $8$ $n!$

Para fundamentar um pouco mais essa afirmação, considere números inteiros arbitrários modo que . Os bits acima do bit 3 obviamente cancelam, para que você possa ignorá-los. Para os quatro bits mais baixos, eles são XOR a 8, então o pior caso possível (em termos de número de unidades que você precisa adicionar) é se e (todos os zeros, exceto o bit mais alto), porque você é necessário adicionar +8 a B para definir o bit superior. Se houver qualquer um bits definidos em qualquer um dos números, você precisa adicionar menos. $A,B$ $A \oplus B = 8$ $A=8$ $B=0$

Talvez você possa começar com isso e desenvolver uma quantidade máxima mais apertada para adicionar.

— Mark Bessey
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