O que é um algoritmo de aproximação bicritério?


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O que é um algoritmo de aproximação bicritério? Isso continua aparecendo no caso de cluster de fluxo de dados. Isso está relacionado à otimização de múltiplos objetivos?

Foi aqui que me deparei com: cis.upenn.edu/~sudipto/mypapers/datastream.pdf. O artigo trata de uma versão em fluxo contínuo do algoritmo k-means. Existem referências no artigo, mas nenhuma delas fornece uma explicação sobre o que é um algoritmo de aproximação bicritério. Parece que não consigo encontrar nada no Google que me dê uma definição precisa.


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Eu não sei. Onde você o viu referido? Você pode fornecer um link e uma citação precisa para uma ou mais fontes que usam essa terminologia? Pelo nome, soa como otimização multiobjetivo (com duas funções objetivas), mas pode ser difícil dizer sem contexto adicional. Além disso, que pesquisa você fez? Você pesquisou no Google?
DW

Eu sugiro que você edite a pergunta. As perguntas devem permanecer por conta própria; as pessoas devem ser capazes de entender tudo o que precisam saber lendo apenas a pergunta em si, não os comentários. Os comentários existem apenas para ajudá-lo a melhorar a pergunta. Você pode clicar no botão "editar" abaixo da sua pergunta para melhorá-la. PS Eu sugiro que você também responda minhas outras perguntas. Que pesquisa você fez? (Neste site, esperamos que você faça alguma pesquisa por conta própria antes de perguntar aqui.)
DW

Respostas:


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Expandirei a resposta de Yuval Filmus , fornecendo uma interpretação baseada em problemas de otimização multiobjetivo .

Otimização e aproximação de objetivo único

Em ciência da computação, estudamos frequentemente problemas de otimização com um único objetivo (por exemplo, minimizar f ( x ) sujeito a alguma restrição). Ao provar, digamos, NP-completeness, é comum considerar o problema orçamentário correspondente . Por exemplo, no problema do clique máximo, o objetivo é maximizar a cardinalidade do clique, e o problema do orçamento é o problema de decidir se existe um clique de tamanho pelo menos k , em que k é fornecido como parte da entrada para o problema.

Quando não é possível calcular uma solução ótima com eficiência, como no caso do problema máximo de clique, buscamos um algoritmo de aproximação , uma função que gera uma solução dentro de um fator multiplicativo de uma solução ótima. Você também pode considerar um algoritmo de aproximação para o problema de orçamento, uma função que gera uma solução que satisfaça f ( x ) ≥ ck no caso de um problema de maximização, em que c seja um número menor que um. Nessa situação, a solução pode violar a restrição rígida f ( x ) ≥ k , mas a "gravidade" da violação é limitada por c .

Otimização multi-objetivo e aproximação de dois critérios

Em alguns casos, convém otimizar dois objetivos simultaneamente. Para um exemplo aproximado, convém maximizar minha "receita" e minimizar meu "custo". Em tal situação, não existe um valor ideal único, pois há uma troca entre os dois objetivos; para obter mais informações, consulte o artigo da Wikipedia sobre eficiência de Pareto .

Uma maneira de transformar um problema de otimização de dois objetivos em um problema de otimização de objetivo único (pelo qual podemos raciocinar sobre o valor ideal da função objetivo) é considerar os dois problemas de restrição , um para cada objetivo. Se o problema é maximizar simultaneamente f ( x ) enquanto minimiza g ( x ), o primeiro problema de restrição é minimizar g ( x ) sujeito à restrição f ( x ) ≥ k , onde k é fornecido como parte da entrada para esse problema de otimização de objetivo único. O segundo problema de restrição é definido da mesma forma.

Um algoritmo de aproximação de ( α , β ) - bicritério para o primeiro problema de restrição é uma função que pega um parâmetro de orçamento k como entrada e gera uma solução x tal que

  • f(x)αk
  • g(x)βg(x)

x

  • f(x)αf(x)
  • g(x)β

Em outras palavras, o algoritmo de aproximação bicritério é simultaneamente uma aproximação para o problema de orçamento no primeiro objetivo e o problema de otimização no segundo objetivo. (Esta definição foi adaptada da página quatro de " Otimização submodular com restrições de capa e mochila submodulares", por Iyer e Bilmes, 2013.)

As desigualdades mudam de direção quando os objetivos mudam de máximo para mínimo ou vice-versa.


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kρkV1,,VkρE(V1,,Vk)ρ

f(n),g(n)1f(n),g(n)V1,,Vkf(n)ρg(n)OPTOPTρ

Em outras palavras, um algoritmo de aproximação bicritério atinge uma certa taxa de aproximação, violando alguma restrição por uma quantidade limitada. Para um exemplo de algoritmo de aproximação bicritério para o problema descrito, consulte este artigo dos irmãos Makarychev.

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