Prove que todos os dois caminhos mais longos têm pelo menos um vértice em comum

Se um gráfico $G$ estiver conectado e não tiver um caminho com um comprimento maior que $k$ , prove que todos os dois caminhos em $G$ de comprimento $k$ têm pelo menos um vértice em comum.

Eu acho que esse vértice comum deve estar no meio dos dois caminhos. Porque se esse não for o caso, podemos ter um caminho de comprimento . Estou certo? $>k$

graph-theory graphs combinatorics

— Saurabh
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Contra-exemplo para um gráfico direcionado que não está fortemente conectado: vértices

, arestas

, os caminhos

não têm vértice comum.

A, B, C, D

$A,B,C,D$

A \to C

$A \to C$

A \to D

$A \to D$

B \to D

$B \to D$

A \to C

$A \to C$

B \to D

$B \to D$

— Sdcvvc 4/12/21

@sdcvvc, você pode fornecer como resposta.

@sdcvvc Acho que a pergunta é restrita a gráficos não direcionados.

— Raphael

Você pode confirmar (ou debilitar) que

é um gráfico não direcionado e você está considerando apenas caminhos simples (= sem ciclo)?

G

$G$

— Gilles 'SO- stop be evil'

@Gilles Sim, o gráfico não é direcionado e o caminho é o caminho que contém arestas e vértices distintos.

— Saurabh

Respostas:

Suponha por contradição que $P_{1} = \langle v_{0},\ldots,v_{k}\rangle$ e $P_{2} = \langle u_{0},\ldots,u_{k}\rangle$ dois caminhos em $G$ de comprimento $k$ sem vértices comuns.

Como $G$ está conectado, existe um caminho $P'$ liga $v_{i}$ a $u_{j}$ para alguns $i,j \in [1,k]$ modo que $P'$ não compartilha vértices com $P_{1} \cup P_{2}$ além de $v_{i}$ e $u_{j}$ . Digamos $P' = \langle v_{i},x_{0},\ldots,x_{b},u_{j}\rangle$ (Note-se que pode não haver $x_{i}$ vértices, isto é, $b$ podem ser $0$ - a notação é um pouco deficiente embora).

Sem perda de generalidade, podemos assumir que $i,j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$ (sempre podemos reverter a numeração). Em seguida, pode-se construir um novo caminho $P^{*} = \langle v_{0},\ldots,v_{i},x_{1},\ldots,x_{b},u_{j},\ldots,u_{0}\rangle$ (indo ao longo $P_{1}$ a $v_{i}$ , em seguida, através da ponte formado por $P'$ a $u_{j}$ , depois ao longo de $P_{2}$ a $u_{0}$ ).

Obviamente, $P^{*}$ tem comprimento pelo menos $k+1$ , mas isso contradiz a suposição de que $G$ não possui caminhos de comprimento maior que $k$ .

Portanto, quaisquer dois caminhos de comprimento $k$ devem se cruzar em pelo menos um vértice e sua observação de que ele deve estar no meio (se houver apenas um) segue como você raciocinou.

— Luke Mathieson
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Eu acho que você precisa

, caso contrário, o novo caminho não é necessariamente mais longo. Observe que

é possível.

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$

b = 0

$b=0$

— Raphael

@Raphael Sim, eu não declarar explicitamente que (e usado notação um pouco enganador), mas

pode completamente feliz ser

, a ponte sempre adiciona pelo menos uma borda, porém, mesmo que a única vértices em

são

. No primeiro ponto, observe que eu construí o caminho a partir de

, então

b

$b$

0

$0$

P^{'}

$P'$

v_{i}

$v_{i}$

u_{j}

$u_{j}$

v_{0} \to v_{i} \to u_{j} \to u_{0}

$v_{0} \rightarrow v_{i} \rightarrow u_{j}\rightarrow \mathbf{u_{0}}$

está certo. Se foi para

então

j \geq ⌈ \frac{k}{2} ⌉

$j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$

u_{k}

$u_{k}$

seria a condição certa.

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$

— Luke Mathieson

Você está certo de que o vértice comum deve ocorrer no meio dos dois caminhos.

No entanto, essa intuição não resolverá o problema real que você está tentando resolver.

Em vez disso, tente demonstrar que, dado qualquer ponto no caminho, o segmento do caminho (e incluindo) esse ponto para uma das extremidades do caminho original deve ter estritamente maior que a metade do número de nós que o caminho completo.

Depois de demonstrar isso, você poderá resolver o problema solicitado e verificar sua conjectura.

— btilly
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