Prove que todos os dois caminhos mais longos têm pelo menos um vértice em comum


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Se um gráfico G estiver conectado e não tiver um caminho com um comprimento maior que k , prove que todos os dois caminhos em G de comprimento k têm pelo menos um vértice em comum.

Eu acho que esse vértice comum deve estar no meio dos dois caminhos. Porque se esse não for o caso, podemos ter um caminho de comprimento . Estou certo?>k


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Contra-exemplo para um gráfico direcionado que não está fortemente conectado: vértices , arestas A C , A D , B D , os caminhos A C e B D não têm vértice comum. A,B,C,DACADBDACBD
Sdcvvc 4/12/21

@sdcvvc, você pode fornecer como resposta.

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@sdcvvc Acho que a pergunta é restrita a gráficos não direcionados.
Raphael

Você pode confirmar (ou debilitar) que é um gráfico não direcionado e você está considerando apenas caminhos simples (= sem ciclo)? G
Gilles 'SO- stop be evil'

@Gilles Sim, o gráfico não é direcionado e o caminho é o caminho que contém arestas e vértices distintos.
Saurabh

Respostas:


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Suponha por contradição que P1=v0,,vk e P2=u0,,uk dois caminhos em G de comprimentok sem vértices comuns.

Como G está conectado, existe um caminho P liga vi a uj para alguns i,j[1,k] modo que P não compartilha vértices com P1P2 além de vi e uj . Digamos P=vi,x0,,xb,uj(Note-se que pode não haver xi vértices, isto é, b podem ser0 - a notação é um pouco deficiente embora).

Sem perda de generalidade, podemos assumir que i,jk2(sempre podemos reverter a numeração). Em seguida, pode-se construir um novo caminhoP=v0,,vi,x1,,xb,uj,,u0(indo ao longoP1avi, em seguida, através da ponte formado porPauj, depois ao longo deP2au0 ).

Obviamente, P tem comprimento pelo menos k+1 , mas isso contradiz a suposição de que G não possui caminhos de comprimento maior que k .

Portanto, quaisquer dois caminhos de comprimento k devem se cruzar em pelo menos um vértice e sua observação de que ele deve estar no meio (se houver apenas um) segue como você raciocinou.


Eu acho que você precisa , caso contrário, o novo caminho não é necessariamente mais longo. Observe queb=0é possível. jk2b=0
Raphael

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@Raphael Sim, eu não declarar explicitamente que (e usado notação um pouco enganador), mas pode completamente feliz ser 0 , a ponte sempre adiciona pelo menos uma borda, porém, mesmo que a única vértices em P ' são v i e u j . No primeiro ponto, observe que eu construí o caminho a partir de v 0v iu ju 0 , então j kb0Pviujv0viuju0está certo. Se foi paraukentãojkjk2ukseria a condição certa. jk2
Luke Mathieson

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Você está certo de que o vértice comum deve ocorrer no meio dos dois caminhos.

No entanto, essa intuição não resolverá o problema real que você está tentando resolver.

Em vez disso, tente demonstrar que, dado qualquer ponto no caminho, o segmento do caminho (e incluindo) esse ponto para uma das extremidades do caminho original deve ter estritamente maior que a metade do número de nós que o caminho completo.

Depois de demonstrar isso, você poderá resolver o problema solicitado e verificar sua conjectura.

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