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Quero especificar o que significa dar uma álgebra como entrada para um algoritmo e não encontrei muita literatura sobre isso. Então, primeiro quero perguntar se você pode recomendar um livro ou artigo que lide com o tópico de análise de complexidade de álgebras sobre campos e defina claramente o problema de decisão .

Após algumas pesquisas, encontrei algo e quero compartilhá-lo aqui e, além disso, pergunto se as definições fazem sentido e estão em conformidade com a literatura (se houver):

Definição: Let ser um campo e ser um número finito gerado conmutativo -álgebra com aditivo base . Agora, queremos capturar a estrutura multiplicativa da álgebra e, portanto, escrever todos os produtos dos elementos base como uma combinação linear de todos os elementos base: Os são chamados de coeficientes de estrutura . Temos diretamente isso: A F b 1 , … , b n ∈ F ∀ 1 ≤ i , j , k ≤ n : ∃ a i j k : b i b j = n ∑ k = 1 a i j k b k . a i j k A ≅ F [ b 1 , … , b $\mathbb F$$A$$\mathbb F$$b_1,\ldots, b_n\in\mathbb F$

$$\forall 1\leq i, j, k\leq n: \exists a_{ijk}: b_ib_j=\sum_{k=1}^n a_{ijk}b_k.$$ $a_{ijk}${(A,B)∣A,B comutativas  F- álgebras com base  b 1 ,… b n  e A≅B}. ϕ:A→Bϕ $$A \cong \left.\mathbb{F}[b_1, \ldots, b_n] \middle/ \left<b_i b_j-\sum_{k=1}^n a_{ijk}b_k\right>_{1\leq i,j\leq n}\right..$$ Agora pode-se definir o seguinte problema de decisão: Para especificar um isomorfismo é suficiente para escrever todos os como combinação linear dos elementos de uma base de . $$\{(A,B)\mid A, B \text{ commutative $\mathbb F$-algebras with basis $b_1, \ldots b_n$ and } A\cong B\}.$$ $\phi:A\rightarrow B$$\phi(b_i)$$B$

Alguma coisa nesta definição lhe parece estranha ou você acha que alguém pode trabalhar com ela?

Motivação: Minha motivação por trás disso é fornecer uma definição muito clara do problema de decisão para conectá-lo a outros problemas, ou seja, o problema de decidir a equivalência polinomial: Dados dois polinômios , dizemos que é equivalente a se existe uma transformação linear invertível nas variáveis ​​tais que . Em outras palavras, dois polinômios são equivalentes se você puder substituir todas as variáveis ​​por uma combinação linear de todas as variáveis ​​para obter o outro polinômio.f g τ f ( τ ( x 1 ) , … , τ ( x n ) ) = g ( x 1 , … , x n$f,g\in\mathbb F[x_1, \ldots, x_n]$$f$$g$$\tau$$f(\tau(x_1), \ldots, \tau(x_n))=g(x_1, \ldots, x_n)$

Não tenho certeza se isso ajuda como motivação, mas a conexão desses problemas é estabelecida através da construção de álgebras comutativas finitamente geradas a partir dos dois polinômios que são isomórficos se e somente se os polinômios forem equivalentes. Para isso, eu queria ter certeza de que o problema de decisão é definido com muita clareza.$\mathbb F$

Isso parece ser consistente com a apresentação em Equivalência de álgebras e formas cúbicas de$\mathbb{F}$ , Agrawal & Saxena (2006) .

A computabilidade sobre estrutura matemática é uma área de pesquisa longa e bem estabelecida. Por exemplo, consulte:

• Edward R. Griffor, " Manual da Teoria da Computabilidade ", 1999

• Leonidovich Ershov, " Manual de Matemática Recursiva: Álgebra Recursiva, Análise e Combinatória ", 1998

ou google para:

• álgebra computacional
• teoria dos modelos computáveis