Pagar coletivamente o problema da fatura

Há $n$ pessoas em uma mesa. O ª pessoa tem que pagar dólares. $i$ $p_i$

Algumas pessoas não têm as contas certas para pagar exatamente , portanto, apresentam o seguinte algoritmo. $p_i$

Primeiro, todo mundo coloca um pouco de seu dinheiro na mesa. Então, cada indivíduo recebe de volta o dinheiro pago em excesso.

As notas têm um conjunto fixo de denominações (não faz parte da entrada).

Um exemplo: suponha que haja duas pessoas, Alice e Bob. Alice deve US $ 5 e tem cinco notas de US $ 1. Bob deve US $ 2 e tem uma nota de US $ 5. Depois que Alice e Bob colocam todo o seu dinheiro na mesa, Bob recebe US $ 3 e todo mundo fica feliz.

Claro, há momentos em que não é preciso colocar todo o dinheiro na mesa. Por exemplo, se Alice tinha mil notas de US $ 1, não é necessário que ela as coloque sobre a mesa e depois retire a maioria delas.

Quero encontrar um algoritmo com as seguintes propriedades:

A entrada especifica o número de pessoas, quanto cada pessoa deve e quantas notas de cada denominação cada pessoa possui.
O algoritmo diz a cada pessoa quais contas colocar na mesa na primeira rodada.
O algoritmo informa a cada pessoa quais contas remover da tabela na segunda rodada.
O número de notas colocadas na mesa + o número de notas removidas da mesa é minimizado.

Se não houver solução viável, o algoritmo retornará um erro.

algorithms optimization

— Chao Xu
fonte

As denominações das notas são fixadas antecipadamente (digamos, nas denominações americanas $ 1, $ 2, $ 5, $ 10, $ 20, $ 50 e $ 100) ou parte da entrada? Em outras palavras, o algoritmo precisa lidar com a possibilidade de Mefistófeles ter três notas de US $ 7, uma nota de US $ 13 e quinze de US $ 4 ?

— Jeffe

As contas são fixas. Acho que nesse caso não posso reduzir a soma de subconjuntos e provar que é NP-Hard. Eu devo editá-lo.

— Chao Xu

Você precisa de uma maneira de expressar 4/5 como uma única otimização. Não é possível otimizar para essas duas condições independentes. Sei o que você pretende, tive um problema semelhante antes, mas você precisa quantificar exatamente o que significa otimizar para ambas as condições.

— edA-qa mort-ora-y

Eu acho que seria melhor, como ponto de partida, assumir que todos pagam a conta exatamente ou o algoritmo simplesmente relata falha.

— 9118 JeffE

Qual é exatamente a questão aqui, existem requisitos de complexidade? Escrever um algoritmo ingênuo parece trivial, ou estou faltando alguma coisa?

— Stéphane Gimenez

Respostas:

Se você reafirmar o problema de uma maneira um pouco diferente (mas equivalente), um algoritmo se tornará mais óbvio:

Não há partes envolvidas: pessoas e um restaurante. Deixe ser a quantidade de partido dinheiro deve ter após a refeição é concluído e pago. Por exemplo, se Alice tem $ 36 e deve $ 25, Bob tem $ 12 e deve $ 11, e Carl tem $ 30 e deve 25, dizemos que é o restaurante e temos: $n$ $n-1$ $p_i$ $i$ $p_0$

$p = (61, 11, 1, 5)$

Ou seja, quando a refeição termina, o restaurante deve ter US $ 61, Alice, US $ 11, Bob, US $ 1 e Carl, US $ 5.

$b$ $m$

$b = (1, 5, 10, 20, 1, 1, 5, 5, 10, 20)$

As denominações das notas não importam, mas eu escolhi denominações da moeda americana em papel para este exemplo, porque elas são familiares.

$i$ $j$ $\{0,1\}$ $C$ $C_{0,j} = 0$ $j$

Continuando nosso exemplo:

C = [\begin{array}{cccccccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}]

$C = \left[ \begin{array}{cccccccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]$

indica que Alice começou com $ 1, $ 5, $ 10, $ 20, Bob começou com $ 1, $ 1, $ 5, $ 5 e Carl começou com $ 10 e $ 20.

Novamente, o objetivo é minimizar o número de notas que mudam de mãos. Em outras palavras:

\begin{aligned} Minimize: & \sum_{i = 0}^{n - 1} \sum_{j = 0}^{m - 1} C_{i, j} x_{Eu, j} \\ sujeito a: & \sum_{Eu = 0 0}^{n - 1} x_{Eu, j} = 1 para 0 0 \leq j < m, \\ \sum_{j = 0 0}^{m - 1} x_{Eu, j} b_{j} = p_{Eu} para 0 0 \leq Eu < n, \\ e & x_{Eu, j} \geq 0 0 \end{aligned}

$\begin{align} \text{Minimize:} & \sum_{i=0}^{n-1}{\sum_{j=0}^{m-1}{C_{i,j} x_{i,j}}} \\ \text{subject to:} & \sum_{i=0}^{n-1}{x_{i,j}} = 1 \text{ for } 0 \le j \lt m, \\ & \sum_{j=0}^{m-1}{x_{i,j}b_j = p_i} \text{ for } 0 \le i \lt n, \\ \text{and} & x_{i,j} \ge 0 \end{align}$

A primeira restrição diz que a solução pode atribuir apenas uma fatura específica a uma parte e a segunda garante que todos paguem o valor apropriado.

Esse é o problema de 0,1 INTEGER PROGRAMMING e está completo em NP (consulte [ Karp 1972 ]). A página da Wikipedia sobre programação linear possui informações sobre diferentes algoritmos que podem ser usados para esses tipos de problemas.

Existem potencialmente várias soluções ideais; manualmente, a primeira solução para o exemplo que surgiu foi:

x = [\begin{array}{cccccccccc} 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 \end{array}]

$x = \left[ \begin{array}{cccccccccc} 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]$

o que significa que Alice paga exatamente US $ 5 e US $ 20, Bob paga exatamente US $ 1, US $ 5 e US $ 5, e Carl paga US $ 10 e US $ 20 e depois remove US $ 5 da mesa.

Também usei o módulo Programa Linear Inteiro Misto do sistema Sage Math , que tem a capacidade de usar diferentes back- end do solucionador ( GLPK , COIN , CPLEX ou Gurobi ). A primeira solução que deu foi

x = [\begin{array}{cccccccccc} 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 0 \end{array}]

$x = \left[ \begin{array}{cccccccccc} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right]$

que é quase o mesmo, exceto que Carl levou os "outros" US $ 5 que Bob colocou na mesa.

$C$ $x$

Identifica um subconjunto de pessoas que podem pagar o total reduzido? Ou talvez um subconjunto de pessoas que ainda possam pagar a conta inteira, ou seja, paguem pelo amigo.

Seu extrato final faz parecer que você está interessado no caso de as denominações das notas serem fixas, mas isso não muda o problema.

$O(1)$

— David
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Que esse problema pode ser expresso como IP foi (quase?) Claro; mas quão boa é essa solução? Os IPs do formulário criado podem ser resolvidos com eficiência? Caso contrário, existe um algoritmo mais rápido?

— Raphael

Existe uma forma mais condensada desse PI, possuindo uma variável para o número de notas de uma denominação específica do que uma variável 0,1. As denominações fixas alteram um pouco a complexidade; se o número de pessoas também é fixo, o algoritmo de Lenstra pode resolvê-lo em tempo polinomial.

— Chao Xu

-2

Certamente, algumas etapas básicas podem incluir as menores faturas disponíveis para atingir o valor total da fatura geral. Se você não quiser permitir contas de US $ 2, cada pessoa pode simplesmente remover a maior conta que pode receber da piscina e chegar lá com relativa rapidez. A nota de US $ 2 joga isso fora, pois não se subdivide muito bem nas outras denominações e complica muito o problema. Certamente, também existem várias outras otimizações que podem ser feitas para fazer observações sobre a necessidade de adicionar mais fundos durante a primeira rodada (por exemplo, se o número total de notas de US $ 1 for suficiente para cobrir a conta, então todos pode parar de incluir, a menos que ainda não tenham investido o suficiente para pagar sua conta).

— AJ Henderson
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