Recursão à esquerda e fatoração à esquerda - qual deles vai primeiro?

se eu tiver uma gramática com uma produção que contenha recursão esquerda e fatoração esquerda como

$\qquad \displaystyle F \to FBa \mid cDS \mid c$

qual deles tem prioridade, recursão esquerda ou fatoração esquerda?

Transformações como fatoração à esquerda ou remoção da recursão à esquerda não têm regras de precedência. Obviamente, as gramáticas resultantes podem ser diferentes, mas reconhecerão o mesmo idioma.

O exemplo de gramática da pergunta é mais difícil do que o típico problema de lição de casa na graduação. Portanto, mostrar nosso trabalho será útil.

Recursão Esquerda

Vamos definir uma transformação que remove a recursão esquerda.

Dado

$\qquad \displaystyle A \to A\alpha_0 \mid A \alpha_1 \mid \dots \mid A \alpha_n \mid B \beta_0 \mid B \beta_1 \mid \dots \mid B\beta_n$ ,

removemos a recursão esquerda assim:

$\qquad \displaystyle \begin{align} A_h &\to B \beta_0 \mid B \beta_1 \mid \dots \mid B \beta_n \\ A_t &\to \alpha_0 \mid \alpha_1 \mid \dots \mid \alpha_n \\ A_{t^+} &\to A_t A_{t^+} \mid A_t \\ A &\to A_h A_{t^+} \mid A_h \end{align}$

A generalidade acima não é normalmente apresentada nos textos do compilador, mas a análise de textos como Grune e Jacobs cobre isso. O fatorial esquerdo pode ser aplicado à gramática transformada acima, mas apenas introduzirá regras extras que não mudarão a resposta. Portanto, simplificaremos a apresentação sem que seja realizado um fator extra à esquerda.

Nesta resposta, não abordaremos questões de recursão à esquerda indireta, porque estamos preocupados apenas com as regras de um único não terminal. Observe que a recursão indireta à esquerda pode ser tratada. (Abra uma pergunta separada, se isso for importante.)

Left Factoring

A remoção do fatoramento esquerdo está na maioria dos textos introdutórios do compilador, feitos dessa maneira. Dado

$\qquad \displaystyle A \to x y \mid x z$

rendimentos de fatoração à esquerda:

$\qquad \displaystyle \begin{align} A_s &\to y \mid z \\ A &\to x A_s \end{align}$

Agora isso é realizar as transformações nos dois pedidos.

Factoring esquerdo primeiro

Vamos deixar de lado a gramática da pergunta

$\qquad \displaystyle \begin{align} F_s &\to D S \mid \varepsilon \\ F &\to F B a \mid c F_s \end{align}$

e remova a recursão esquerda:

$\qquad \displaystyle \begin{align} F_h &\to c F_s \\ F_t &\to B a \\ F_{t^+} &\to F_t F_{t^+} | F_t \\ F_s &\to D S \mid \varepsilon \\ F &\to F_h F_{t^+} \mid F_h \end{align}$

Removendo a recursão esquerda primeiro

E para os outros pedidos, vamos remover a recursão esquerda da gramática da pergunta

$\qquad \displaystyle \begin{align} F_h &\to c D S \mid c \\ F_t &\to B a \\ F_{t^+} &\to F_t F_{t^+} \mid F_t \\ F &\to F_h F_{t^+} \mid F_h \end{align}$

e então deixou o fator terminal :$c$

$\qquad \displaystyle \begin{align} F_{hs} &\to D S \mid \varepsilon \\ F_h &\to c F_{hs} \\ F_t &\to B a \\ F_{t^+} &\to F_t F_{t^+} \mid F_t \\ F &\to F_h F_{t^+} \mid F_h \end{align}$

Ah, as gramáticas resultantes são as mesmas!

Em geral, provar que duas gramáticas são equivalentes é indecidível. Portanto, se uma série de transformações gramaticais pudesse influenciar o idioma reconhecido , seria desastroso.