Qual dessas duas seqüências é aleatória e qual não é?


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Nós deixamos α=α1α2α3 uma sequência aleatória infinita (sob a medida uniforme) em que αi talvez 1 ou 0e defina a função booleana Bk:

Bk(α1αk)={1 if at least k/2 of its inputs are 10 otherwise

Em seguida, definimos duas sequências:

B3(α1α2α3)B3(α4α5α6)B3(α7α8α9)
B4(α1α2α3α4)B4(α5α6α7α8)B4(α9α10α11α12)

Qual dessas duas seqüências é ( algoritmicamente ) aleatória e por quê? Devo observar que, aparentemente, existe um fato teórico da medida que revela qual não é aleatório.


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E se k=2n+1 então P(Bk=1)<P(Bk=0). Isso não é suficiente, informalmente?
OJFord 10/06/14

talvez um relacionadas questão
Nikos M.

Não é cada Bk sequência igual à sequência de soma parcial de ai's (ou mais corretamente a diferença de 2 seqüências de soma parcial)?
Nikos M.

também posso dar outro tipo de resposta em termos de processo sigal. CadaBk A sequência atua como filtro passa-baixo (filtrando as altas frequências) como resultado, porque o ruído aleatório tem especialmente as altas frequências, cada Bkdeve ser progressivamente menos aleatório (eventualmente igual a uma sequência de 1s).
Nikos M.

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@Newb De acordo com o artigo da Wikipedia que você vincula, existem várias possibilidades e o padrão é uma convenção de campo. Você deve tomar cuidado ao usar essas convenções aqui sem esclarecimentos - nem todo leitor é especialista em domínio.
Raphael

Respostas:


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A segunda sequência não é aleatória. Deixeiα1,α2,α3,α4 seja aleatório, iid Bernoulli 1/2variáveis ​​aleatórias. Deixeiβ=B4(α1α2α3α4).

Qual é a distribuição da variável aleatória β? Responda:β=1 se pelo menos dois dos αsão 1, tão Pr[β=1]=11/16.

Em outras palavras, β é inclinado para 1. Conclui-se que a segunda sequência não é algorítmica aleatória: é um conjunto de variáveis ​​aleatórias independentes de Bernoulli comp=11/16, ou seja, o resultado de uma sequência infinita de lançamentos de uma moeda tendenciosa.


Tudo certo! Isso faz todo o sentido. Obrigado. Você tem algum raciocínio sobre por que a primeira sequência é aleatória?
Newb

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Por outro lado, seria porque B3 é "justo": existem 4 sequências de 3 bits que B3 mapeia para sequências de 1 e 4 bits que mapeiam para 0, assumindo que a sequência original seja aleatória, Pr[B=1]=Pr[B=0]=12.
gardenhead

Eu não concordo com isso, apenas afirma que a variável aleatória βnão tem probabilidades iguais de p1 e p2. Por que uma variável aleatória com P1 = 1/3 e P0 = 2/3, não é considerada aleatória? Por que os RVs com uma distribuição diferente não são aleatórios (um RV gaussiano não é aleatório, é tendencioso em relação à média)?
precisa

Na verdade eu estou postando uma pergunta (em breve?) Reportar-o relaton entre aleatoriedade probabilística e algorítmica (pela outra pergunta que eu ligado nos comentários)
Nikos M.

Eu acho que você está certo, enquanto ambos são aleatórios em um sentido, algoritmicamente aleatório não é o mesmo que probabilisticamente aleatório. Como não sou especialista em aleatoriedade algorítmica, é verdade que posso dizer. Eu também estaria interessado em elaborar esses pontos.
gardenhead
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