Maior sequência repetida (dispersa) em uma seqüência de caracteres

Declaração informal do problema:

Dada uma sequência, por exemplo, $ACCABBAB$ , queremos colorir algumas letras em vermelho e outras em azul (e algumas nem sequer), de modo que a leitura apenas das letras vermelhas da esquerda para a direita produz o mesmo resultado que a leitura apenas as letras azuis.

No exemplo, poderíamos pintá-los assim: $A\color{blue}{C}\color{red}{CAB}B\color{blue}{AB}$

Portanto, dizemos $CAB$ é uma subsequência de repetição de uma $ACCABBAB$ . É também a subsequência repetida mais longa (fácil de verificar).

Podemos calcular as subsequências repetidas mais longas com eficiência?

Pergunta formal:

É NP-difícil decidir por uma string e algum $k$ , se existe uma subsequência repetida de comprimento $k$ na string?

Em caso afirmativo: Qual problema pode ser reduzido para esse problema?
Caso contrário: o que é um algoritmo eficiente? (obviamente, esse algoritmo pode ser usado para calcular a subsequência repetida mais longa)

Pergunta bônus:

Será sempre uma subsequência repetida de comprimento $n/2 - o(n)$ se o tamanho do alfabeto for limitado por uma constante?

(Isso é conhecido por alfabetos binários.)

Edição 2: a resposta negativa à pergunta sobre bônus já é conhecida por alfabetos de tamanho mínimo de . Na verdade para alfabetos de tamanho , existem cadeias mais longas com subsequências repetidas de um comprimento de apenas $5$ $Σ$ $O(n · Σ^{-1/2})$ . Sequências aleatórias são suficientes para mostrar isso. O resultado já existia, mas eu o ignorei.

Editar: Nota:

Algumas pessoas querem dizer "substring" quando dizem "subsequence". Eu não. Este não é o problema de encontrar uma substrings duas vezes.

— Sekti
fonte

Sekti, obrigado. Você está certo: meu primeiro comentário foi errado; Eu o apaguei agora. Por outro lado, meu comentário restante é sobre subsequências não contíguas. Se

for corrigido, existe uma maneira de resolver seu problema (com subsequências não contíguas, mandatadas para não se sobrepor) em

ou mais. Cada subproblema dp controla os índices de todas as letras vermelhas e todas as letras azuis escolhidas até o momento. Provavelmente isso não é interessante, porque não nos diz o que acontece quando

faz parte da entrada.

k

$k$

O (n^{2 k + 2})

$O(n^{2k+2})$

k

$k$

— DW

@DW Por que a pergunta formal não pode ser respondida com eficiência com esta modificação da subsequência comum mais longa? Talvez esteja faltando alguma coisa e alguém possa me esclarecer.

— Bryce Kille 24/04

@BryceKille, eu não sei; talvez possa. Se você descobrir como fazê-lo, espero que você escreva uma resposta!

— DW

-2

Isso pode ser resolvido em ~~tempo polinomial~~construindo um gráfico onde cada nó representa um ponto em alguma subsequência repetida de modo que . Borda entre os nós e significa que pode ser continuado por para formar uma subsequência repetida de comprimento 2. $G$ $(i,j)$ $S$ $S[i]=S[j]$ $u$ $v$ $u$ $v$

1. Encontre os nós. Isso pode ser feito em , criando uma lista classificada de índices para cada caractere e depois enumerando os pares exclusivos. Não há mais que nós. $O(n^2)$ $c$ $m=n^2$

2. Encontre as arestas. Leva tempo para verificar se o nó pode ser continuado pelo nó , portanto, considerando todos os pares essa etapa leva tempo . $O(1)$ $u$ $v$ $(u,v)$ $O(m^2)$

3. Observe que o caminho mais longo em pode não ser uma subsequência repetida válida. Considere os caminhos e . Se existe uma aresta então é uma subsequência repetida válida de comprimento 3. Portanto, leva tempo para encontrar todas as subsequências repetidas de comprimento 3. No caso geral, leva tempo linear para verificar se duas caminhos válidos de comprimento podem ser combinados em um caminho válido de comprimento . $G$ $ab$ $bc$ $ac$ $abc$ $O(m^4)$ $n$ $n+1$

4. Itere a etapa 3 até que não sejam mais encontrados caminhos.

— noplogist
fonte

Hmm. Muito rápido. Na etapa 3, o número de subsequências a serem consideradas aumenta cada vez mais. Portanto, não é polinomial.

— Noplogist

Bem-vindo ao CS.SE e obrigado por tentar resolver esse problema! Receio não entender seu algoritmo. O que é o passo 3? Tudo o que vejo em "3." são algumas declarações / observações declarativas, mas não vejo uma especificação processual do que o algoritmo deve fazer. Além disso, não vejo o que significa iterar a Etapa 3 ou a justificativa para sua afirmação de que

O (n n m^{2})

$O(nnm^2)$ o tempo é suficiente. Seu comentário subsequente faz parecer que você não acredita mais que sua resposta está correta. Nesse caso, talvez seja melhor excluir a resposta, para evitar confusão.

— DW

Você sempre pode cancelar a exclusão ou postar uma nova resposta se descobrir a resposta mais tarde.

— DW

DW, obrigado. A entrada para a etapa 3 é todas as subsequências repetidas de comprimento n e a saída é todas as subsequências repetidas de comprimento n + 1. Eu acredito que o algoritmo está correto, mas que não é um algoritmo de tempo polinomial. Marquei as reivindicações que considero incorretas.

— Noplogist

Obrigado. Compreendo. Infelizmente, com essas revisões, receio que essa resposta não responda à pergunta que foi feita. A pergunta era: isso é difícil para o NP? Existe um algoritmo eficiente? Mostrar que existe um algoritmo de tempo exponencial não ajuda a responder a nenhuma dessas perguntas. De fato, já é trivial ver que existe um algoritmo de tempo exponencial para o problema, sem invocar nenhuma técnica sofisticada. Agradeço sua tentativa.

— DW