Análise mais rigorosa do algoritmo de Borůvka modificado

O algoritmo de Borůvka é um dos algoritmos padrão para calcular a árvore de abrangência mínima para um gráfico , com | V | = n , | E | = m .$G = (V,E)$$|V| = n, |E| = m$

O pseudocódigo é:

MST T = empty tree
Begin with each vertex as a component
While number of components > 1
    For each component c
       let e = minimum edge out of component c
       if e is not in T
           add e to T  //merging the two components connected by e

Chamamos cada iteração do loop externo de uma rodada. Em cada rodada, o loop interno reduz o número de componentes pelo menos pela metade. Portanto, existem no máximo rodadas . Em cada rodada, o loop interno analisa cada aresta no máximo duas vezes (uma vez de cada componente). Portanto, o tempo de execução é no máximo O ( m log n ) .$O(\log n)$$O(m \log n)$

Agora, suponha que, após cada rodada, removamos todas as arestas que conectam apenas vértices no mesmo componente e também removemos arestas duplicadas entre os componentes, de modo que o loop interno observe apenas algum número de arestas m '<m, que são as arestas de peso mínimo que conecte dois componentes desconectados anteriormente.

Como essa otimização afeta o tempo de execução?

$T(m) = T(m /2) + O(m) = O(m)$

No entanto, embora a otimização reduza drasticamente o número de arestas examinadas (apenas uma aresta na rodada final e, no máximo, o número de componentes escolhe 2 em geral), não está claro como / se podemos usar esse fato para restringir a análise. do tempo de execução.

$|E| \leq 3*|V|-6$$|E| = O(|V|)$

Referência:

• Tese de mestrado, Claude Anderson (na página 100, é descrito o pior argumento para o algoritmo de Borůvka). [ligação]

• "Dois algoritmos de tempo linear para MST em classes de gráfico menores fechadas". Archivum mathematicum 40 (3): 315–320, 2004. [link]