Como posso verificar uma solução para o problema do vendedor ambulante em tempo polinomial?

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Portanto, o problema de decisão do TSP (problema do vendedor ambulante) é NP completo .

Mas não entendo como posso verificar se uma determinada solução para o TSP é de fato ideal no tempo polinomial, já que não há como encontrar a solução ideal no tempo polinomial (o que ocorre porque o problema não está em P)?

Alguma coisa que possa me ajudar a ver que a verificação pode realmente ser feita em tempo polinomial?

complexity-theory np-complete traveling-salesman

— lazer
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Para ser mais preciso, nós não sabemos se TSP está em . É possível que ele pode ser resolvido em tempo polinomial, embora talvez a crença comum é que . Agora, lembre-se que isso significa para um problema a ser -Hard e -completo, ver por exemplo a minha resposta aqui . Acredito que sua fonte de confusão decorre das definições: um problema -Hard não é necessariamente em . $\mathsf{P}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

Como você e a página da Wikipedia vinculados afirmam, o problema de decisão é completo: dados os custos e um número inteiro , decida se existe um passeio mais barato que . Uma maneira de ver o problema em é ver que, dada uma solução, é fácil verificar em tempo polinomial se a solução é mais barata que . Como você pode fazer isso? Basta seguir o tour fornecido, registrar seu custo total e finalmente comparar o custo total com . $\mathsf{NP}$ $x$ $x$ $\mathsf{NP}$ $x$ $x$

— Juho
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"Basta seguir o passeio dado, registrar seu custo total e finalmente comparar o custo total com x". -> Sim, mas há um número exponencial de passeios para conferir!

— Lazer

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Eu estava um pouco lento demais, ao que parece. ;-)

— Niel de Beaudrap

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@Lazer Não, há exatamente um tour para verificar. Você recebe um tour e registra sua duração. Se for menor que

, produza sim , caso contrário não .

x

$x$

— 21412 Juho

"decidir se existe um passeio", isso definitivamente significa que não temos um passeio. o que estou perdendo?

— Lazer

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@Lazer Não, no problema, você recebe um gráfico ponderado e um custo-alvo. O certificado é um tour. Para uma explicação alternativa, consulte a resposta de Niel. Assim como no exemplo no Wiki, no caso de SUBSET-SUM, não recebemos zero, mas, em vez disso, recebemos um subconjunto específico como certificado.

— Juho

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O ponto crucial é que você deve considerar o problema de decisão :

Problema do vendedor ambulante (versão de decisão). Dado um gráfico ponderado G e um custo alvo C , existe um ciclo hamiltoniano em G cujo peso é no máximo C ?

Para uma instância 'sim', o certificado é apenas um ciclo hamiltoniano cujo peso é no máximo C . Se você pudesse resolver esse problema com eficiência, poderia encontrar o custo de um passeio mínimo por pesquisa binária, começando com o peso de toda a rede como um limite superior.

— Niel de Beaudrap
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Você provavelmente está pensando no problema de determinar se uma determinada solução para o TSP é a melhor solução. No entanto, não há uma solução polinomial conhecida para isso, o que significa que esse problema é difícil no NP, mas não necessariamente no NP-Completo.

O Problema de Decisão da TSP é, na verdade, determinar se o peso de qualquer solução em um gráfico Gtem o maior custo C(como explicado melhor na resposta de Niel), o que certamente é verificável em tempo polinomial.

— Casey Kuball
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Desculpe pelo pedantismo, mas o TSP não é NP-difícil, porque existem passeios

. Por exemplo, a classificação está em P, embora haja

possíveis permutações também. Espaços de pesquisa enormes ou em rápido crescimento nem sempre implicam dureza.

O (n!)

$O(n!)$

n!

$n!$

— Juho

@Juho É possível verificar se uma sequência está classificada, simplesmente verificando se

. No entanto, para saber que algo é a melhor solução para o TSP, é necessário saber que o custo é o custo mínimo, o que exige inerentemente conhecer todos os outros custos.

n_{0} <= n_{1} <= . . .

$n_0 <= n_1 <= ...$

— Casey Kuball

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Não, você pode obter o melhor, mesmo sem calcular os comprimentos de todos os outros passeios. E sim, é possível provar que esse é realmente o ideal sem calcular todos os outros passeios. Por exemplo, considere branch & bound.

— Juho

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O (n^{2} 2^{n})

$O(n^22^n)$

@Juho bom ponto. Atualizei a resposta para não indicar mais a força bruta como a única opção (apenas que não existem soluções polinomiais).

— Casey Kuball

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$M$ $M$ . Nesse caso, deixe a borda para fora e continue. Caso contrário, coloque a borda de volta e continue. Quando você processar todas as bordas, ficará com um ciclo hamiltoniano de peso mínimo.

— RecursivelyIronic
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