Faz

Deixei $\Pi$um problema de contagem parametrizado , em que o parâmetro é o custo da solução, por exemplo, contar o número de$k$de vértice de tamanho médio em um gráfico, parametrizado por $k$.

Assuma isso $\Pi$ é $\#W$[1] -complete (um problema conhecido, por exemplo, seria contar o número de caminhos simples de comprimento$k$ num gráfico).

Isso implica que $\Pi$ é $APX$-hard (ou seja, não existe PTAS para o problema, a menos que$P=NP$)?

Observe que, ao discutir um parâmetro que é o custo da solução, faz sentido discutir a dureza da aproximação (por exemplo, consulte esta pergunta ), em oposição a outras parametrizações populares.

$\mathrm{W}[1]$-dureza implica que um problema não tem eptas , a menos que (pelo menos)$\mathrm{W}[1] = \mathrm{FPT}$(ter um eptas implica rastreabilidade parametrizada para a parametrização do tamanho da solução padrão), mas há problemas com um ptas que são$\mathrm{W}[1]$-hard (ou seja, não $\mathrm{APX}$-hard a menos $\mathrm{APX} = \mathrm{PTAS}$)

Transferindo isso para $\#\mathrm{W}[1]$-dureza, você pode pelo menos dizer que um $\#\mathrm{W}[1]$O problema difícil ainda não tem eptas , mas não creio que uma declaração mais forte possa ser feita a priori . Voltando à especulação, suspeito que também não é verdade que$\mathrm{APX}$-dureza segue imediatamente de $\#\mathrm{W}[1]$-dureza em geral, embora talvez algo possa ser dito para classes mais altas, como a versão de contagem do $\mathrm{para}\text{-}\mathrm{NP}$.