Complexidade de um algoritmo ingênuo para encontrar o substring de Fibonacci mais longo

Dado dois símbolos e , vamos definir o -ésimo seqüência de Fibonacci da seguinte forma: $\text{a}$ $\text{b}$ $k$

F (k) = {\begin{cases} b & if k = 0 \\ a & if k = 1 \\ F (k - 1) ⋆ F (k - 2) & else \end{cases}

$F(k) = \begin{cases} \text{b} &\mbox{if } k = 0 \\ \text{a} &\mbox{if } k = 1 \\ F(k-1) \star F(k-2) &\mbox{else} \end{cases}$

com denotando concatenação de strings. $\star$

Assim, teremos:

$F(0) = \text{b}$
$F(1) = \text{a}$
$F(2) = F(1) \star F(0) = \text{ab}$
$F(3) = F(2) \star F(1) = \text{aba}$
$F(4) = F(3) \star F(2) = \text{abaab}$
...

Dada uma sequência formada por símbolos, definimos uma substring de Fibonacci como qualquer substring de que também é uma sequência de Fibonacci para uma escolha adequada de e . $S$ $n$ $S$ $\text{a}$ $\text{b}$

O problema

Dado , queremos encontrar o substring Fibonacci mais longo. $S$

Um algoritmo trivial

Para cada posição da string , suponha que comece aí (basta verificar se os símbolos -ésimo e -ésimo são distintos). Se for esse o caso, verifique se pode ser estendido para , depois e assim por diante. Depois disso, comece novamente a partir da posição . Repita até chegar à posição . $i$ $S$ $F(2)$ $i$ $(i+1)$ $F(3)$ $F(4)$ $i+1$ $n$

Devemos olhar para cada símbolo pelo menos uma vez, então é . Existem apenas dois para loops envolvidos, então podemos dizer que é . $\Omega(n)$ $O(n^2)$

No entanto (de maneira não surpreendente), esse algoritmo ingênuo tem desempenho quadrático muito melhor que o usual (se fizer muito trabalho na ésima posição, não fará muito trabalho nas próximas posições). $i$

Como posso usar as propriedades de Fibonacci para encontrar limites mais apertados para o tempo de execução desse algoritmo?

— wil93
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$F(n)$ $F(n)$ $F(n)$ $F(4) = abaab$ $F(4)$ $p$ $p+1$ $p+2$ $p+3$ $\ell(n)$ $F(\ell)$ $\ell$ $n \geq 4$ $\ell(n) = |F(n-1)|$ $\ell(4) = 3$

$N$ $n$ $P(n)$ $F(n)$ $\sum_n |P(n)| |F(n)|$ $n$ $|F(n-1)| \leq N$ $F(n)$ $|F(n-1)|$

\sum_{n} | F (n) | (\frac{N}{| F (n - 1) |} + 1) .

$\sum_n |F(n)| \left(\frac{N}{|F(n-1)|} + 1\right).$

\sum_{n} | F (n) | = O (N)

$\sum_n |F(n)| = O(N)$

\sum_{n} O (N) = O (N \log N)

$\sum_n O(N) = O(N\log N)$

\log N

$\log N$

O (N \log N)

$O(N\log N)$

$F_n$ $\Omega(|F_n|\log|F_n|)$ $N$ $\Theta(N\log N)$

— Yuval Filmus
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