Problema 3SUM generalizado (k-SUM)?

O problema 3SUM tenta identificar 3 números inteiros de um conjunto de tamanho modo que .S n a + b + c = $a,b,c$$S$$n$$a + b + c = 0$

É conjeturado que não há solução melhor que quadrática, isto é, . Ou, de maneira diferente: .o ( n log ( n ) + n 2$\mathcal{o}(n^2)$$\mathcal{o}(n \log(n) + n^2)$

Então, eu queria saber se isso se aplicaria ao problema generalizado: Encontre números inteiros para em um conjunto de tamanho tal que . i ∈ [ 1 .. k ] S n ∑ i ∈ [ 1 .. k ] a i = $a_i$$i \in [1..k]$$S$$n$$\sum_{i \in [1..k]} a_i = 0$

Eu acho que você pode fazer isso em para (é trivial generalizar o algoritmo simples). Mas existem algoritmos melhores para outros valores de ?k ≥ 2 k = 3 $\mathcal{o}(n \log(n) + n^{k-1})$$k \geq 2$$k=3$
$k$

$k$ -SUM pode ser resolvido mais rapidamente da seguinte maneira.

• Para igual :$k$ S k / 2 S x - x O ( n k / 2 log n ) calcule uma lista classificada de todas as somas de elementos de entrada. Verifique se contém algum número e sua negação . O algoritmo é executado no tempo .$S$$k/2$$S$$x$$-x$$O(n^{k/2}\log n)$

• Para ímpar :$k$ S ( k - 1 ) / 2 a S x - a - x x O ( n 2 ) O ( n ( k + 1 ) / 2 ) Calcule a lista classificada de todas as somas de elementos de entrada. Para cada elemento de entrada , verifique se contém e , para algum número . (O segundo passo é essencialmente o algoritmo de tempo para 3SUM.) O algoritmo é executado no tempo .$S$$(k-1)/2$$a$$S$$x$$-a-x$$x$$O(n^2)$$O(n^{(k+1)/2})$

Ambos os algoritmos são ótimos (exceto possivelmente para o fator de log quando é igual e maior que ) para qualquer constante em uma certa restrição fraca, mas natural, do modelo de computação da árvore de decisão linear. Para mais detalhes, consulte:$k$$2$$k$

• Nir Ailon e Bernard Chazelle. Limites inferiores para teste de degeneração linear . JACM 2005.

• Jeff Erickson. Limites inferiores para problemas de satisfação linear . CJTCS 1999.

$d$$n^{\Omega(d)}$$2^{o(n)}$

$n$

(1) Mihai Patrascu e Ryan Williams. Sobre a possibilidade de algoritmos SAT mais rápidos. Proc. 21º Simpósio ACM / SIAM sobre Algoritmos Discretos (SODA2010)

Aqui estão algumas observações simples.

$k=1$$\Theta(n)$$k=2$$\Theta(n \log n)$$i$$-i$$\Theta(n \log n)$$k=n$$\Theta(n)$ acumulando a matriz e verificando o resultado.

Para mais algumas referências, consulte a página The Open Problems Project para 3SUM .

Veja http://arxiv.org/abs/1407.4640

Um novo algoritmo para resolver o problema rSUM Valerii Sopin

Abstrato:

Um algoritmo determinado é apresentado para resolver o problema rSUM para qualquer r natural com uma avaliação sub-quadrática da complexidade do tempo em alguns casos. Em termos de quantidade de memória utilizada, o algoritmo obtido também possui uma ordem sub-quadrática. A idéia do algoritmo obtido é baseada na consideração de números inteiros, mas em k∈N bits sucessivos desses números no sistema de numeração binária. É mostrado que, se uma soma de números inteiros for igual a zero, a soma dos números apresentados por quaisquer k bits sucessivos desses números deverá ser suficientemente "próxima" de zero. Isso torna possível descartar os números que, a fortiori, não estabelecem a solução.

É algo novo nesta edição.