Construindo todas as linguagens sem contexto a partir de um conjunto de linguagens de base e propriedades de fechamento?

Uma maneira de observar expressões regulares é como uma prova construtiva do seguinte fato: é possível construir os idiomas regulares iniciando com um pequeno conjunto de idiomas e combinando-os por meio de um pequeno conjunto fixo de propriedades de fechamento. Especificamente, se começarmos com o idioma vazio, o idioma que contém a cadeia vazia e os idiomas de todas as cadeias de caracteres únicos, podemos montar todos os idiomas regulares possíveis usando a união, concatenação e estrela Kleene.

Existe um conjunto de linguagens de base e propriedades de fechamento que podem ser usadas para gerar todas e apenas as linguagens sem contexto? (Para esclarecer: não estou perguntando se você pode escrever expressões regulares para todas as CFLs, o que eu sei que é impossível. Em vez disso, estou me perguntando se existe uma maneira de criar uma estrutura de expressão regular para CFLs com base no mesmos princípios básicos.)

Isso é possível, mas talvez não exatamente da maneira que você pergunta. Como um começo tomar a linguagem Dyck de todas as cadeias de suportes correspondentes ao longo de dois pares de colchetes, dizem { [ , ] , ( , ) } , ou mais abstratamente a 1 , b 1 , a 2 , b 2 .$D_2$$\{ [,], (,) \}$$a_1,b_1,a_2,b_2$

Então, cada linguagem livre de contexto pode ser obtida a partir de usando homomorphisms, homomorphisms inversas e intersecção com linguagens regulares. As linguagens livres de contexto são chamadas "o cone principal gerado por D 2 ", em livros antigos denotados M ( D 2 ) . Veja uma pergunta relacionada: " Quais idiomas são reconhecidos por máquinas de balcão único? "$D_2$$D_2$$\mathcal{M}(D_2)$

De fato, precisamos apenas de uma de cada operação (bem escolhida). Cada CFL pode ser escrita , onde g , h são homomorfismos e R é uma linguagem comum. Intuitivamente, R é um programa de um PDA, g mapeia cada instrução para a letra lida, h para as operações push e pop da pilha. Finalmente D 2 códigos de comportamento pilha adequada.$g(h^{-1}(D_2) \cap R)$$g$$h$$R$$R$$g$$h$$D_2$

Esse resultado está relacionado ao teorema de Chomsky – Schützenberger (ou como pode ser visto na wikipedia, um deles). A afirmação vinculada aqui na wikipedia (a) não precisa de um homomorfismo inverso, enquanto (b) não se restringe a dois pares de colchetes. Teoremas desse tipo são da área de "Famílias abstratas de autômatos", onde Ginsburg e Greibach são nomes importantes. Um resultado relacionado por Nivat afirma que operações na forma para g , h , R fixo são as transduções em estado finito.$L \mapsto g(h^{-1}(L) \cap R)$$g,h,R$