A soma de subconjuntos permite multisets?

No problema de Subconjunto de soma, alguns dos números fornecidos podem $a_1,a_2,a_3,\dots,a_n$ ser o mesmo? Por exemplo, podemos ter $[1,1,1,2,3,4]$ e o alvo é $5$ ? Posso assumir que tenho uma solução específica com números $2$ e $3$ e $1,1,1$ e $2$ não é?

complexity-theory terminology

— curioso
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Você diz potayto, eu digo potahto. É bastante comum os cientistas da computação embaçarem a distinção formal entre conjuntos e multisets; a única maneira de ter certeza é ler atentamente a definição . Todas as variantes do problema Subset Sum são NP-complete.

— Jeffe

Uma pergunta que poderíamos fazer é "Podemos reduzir isso de volta ao problema da soma de subconjuntos?" Nesse caso, a resposta é sim : para cada duplicado $z$ substituímos por dois números $x$ e $y$ de tal modo que $x+y=z$ .

[- 1, - 1, 2, 3] \to [- 7, - 1, 2, 3, 6]

$[-1,-1,2,3]\to [-7,-1,2,3,6]$

No entanto, precisamos ter cuidado para não apresentar soluções adicionais (aquelas que usam apenas $x$ sem $y$ ), o que podemos fazer fazendo $x>\lvert \Sigma(a_i)\rvert$ para $a_i<0\in A$ e $y<-\lvert\Sigma(a_i)\rvert$ para $a_i>0 \in A$ . Especificamente, isso impede o uso de $x$ sem $y$ (e vice-versa), fazendo a soma de $x$ e todos os números negativos estritamente acima de zero (e, portanto, não satisfazem o problema tradicional de soma de subconjuntos).

— Merbs
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