As palavras cruzadas regex são NP-difíceis?

Eu estava brincando no outro dia neste site: http://regexcrossword.com/ e isso me fez pensar em qual seria a melhor maneira de resolvê-lo.

Você pode resolver o seguinte problema em tempo polinomial ou é NP-difícil?

Dada uma grade NxM com N expressões regulares para as colunas e M para as linhas, encontre qualquer solução para a grade, de modo que todas as expressões regulares sejam satisfeitas, ou diga que não existe solução.

O problema é NP-difícil.

Mostramos isso reduzindo a cobertura de vértices:

Dado um gráfico e um limiar k , existe um subconjunto V ′ ⊆ V de cardinalidade no máximo k , de modo que cada aresta em E incida em pelo menos um nó em$G=(V,E)$$k$$V' \subseteq V$$k$$E$ ?$V'$

Nós traduzimos isso em palavras cruzadas regex com coluna e$|E|+1$linhas da seguinte maneira:$|V|$

Todas as colunas, exceto a primeira, correspondem a uma aresta. Eles recebem um regex .$0^*1(0|1)^*$

Todas as linhas correspondem a um vértice. Eles recebem um regex que permite escrever

• um na primeira coluna e cada coluna correspondente a um incidente de borda nesse nó e zera em todas as outras colunas, ou$1$

• $0^*$

Finalmente, a primeira coluna conta o tamanho da capa do vértice. Obtém um regex, que permite no máximo .$k$

A correspondência entre soluções para as palavras cruzadas regex e capas de vértice deve ser óbvia.

Exemplo:

Encontre uma cobertura de vértice de tamanho 2 para o seguinte gráfico:

$V_A = 0^* \big| 10110$

$V_B = 0^* \big| 11101$

$V_C = 0^* \big| 10011$

$V_D = 0^* \big| 11000$

$Counter = 0^* \big| 0^*10^* \big| 0^*10^*10^*$

$E_1 = 0^*1(0|1)^*$

$E_2 = 0^*1(0|1)^*$

$E_3 = 0^*1(0|1)^*$

$E_4 = 0^*1(0|1)^*$

$V_A$$V_D$$Counter$$E_1$$E_4$

$V_A,V_B$$V_C,V_B$

$Counter$$0^* \big| 0^*10^*$

A questão permanece NP-completa, mesmo quando todas as expressões regulares são iguais. http://arxiv.org/abs/1411.5437