Conjunto máximo independente de um gráfico bipartido

Estou tentando encontrar o conjunto independente máximo de um gráfico biparito.

Encontrei o seguinte em algumas notas "13 de maio de 1998 - Universidade de Washington - CSE 521 - Aplicações de fluxo de rede" :

Problema:

Dado um bipartido gráfico $G = (U,V,E)$ , encontrar um conjunto independente $U' \cup V'$ que é tão grande quanto possível, em que $U' \subseteq U$ e $V' \subseteq V$ . Um conjunto é independente se não houver arestas de $E$ entre os elementos do conjunto.

Solução:

Construa um gráfico de fluxo nos vértices $U \cup V \cup \{s,t\}$ . Para cada aresta $(u,v) \in E$ há uma aresta de capacidade infinita de $u$ até $v$ . Para cada $u \in U$ , existe uma margem de capacidade unitária de $s$ para $u$ , e para cada $v \in V$ , existe uma margem de capacidade unitária de $v$ até $t$ .

Encontrar um corte capacidade finita $(S,T)$ , com $s \in S$ e $t \in T$ . Deixe que $U' = U \cap S$ e $V' = V \cap T$ . O conjunto $U' \cup V'$ é independente, pois não há arestas de capacidade infinita cruzando o corte. O tamanho do corte é $|U - U'| + |V - V'| = |U| + |V| - |U' \cup V'|$. Isso, para tornar o conjunto independente o maior possível, tornamos o corte o menor possível.

Então, vamos considerar isso como o gráfico:

A - B - C
    |
D - E - F

Podemos dividir isso em um gráfico bipartido da seguinte forma $(U,V)=(\{A,C,E\},\{B,D,F\})$

Podemos ver pela busca por força bruta que o único máximo conjunto independente é $A,C,D,F$ . Vamos tentar trabalhar com a solução acima:

Portanto, a matriz de adjacência da rede de fluxo construída seria:

$$\begin{matrix} & s & t & A & B & C & D & E & F \\ s & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ t & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ A & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & 0 & 0 & 0 \\ B & 0 & 1 & \infty & 0 & \infty & 0 & \infty & 0 \\ C & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \infty & 0 \\ E & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & \infty & 0 & \infty \\ F & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \infty & 0 \\ \end{matrix}$$

Aqui é onde estou preso, o menor corte de capacidade finita que vejo é trivial: $(S,T) =(\{s\},\{t,A,B,C,D,E,F\})$ com capacidade de 3)

O uso desse corte leva a uma solução incorreta de:

$$U' = U \cap S = \{\}$$ $$V' = V \cap T = \{B,D,F\}$$ $$U' \cup V' = \{B,D,F\}$$

Enquanto esperávamos $U' \cup V' = \{A,C,D,F\}$ ? Alguém pode identificar onde eu errei no meu raciocínio / trabalho?

O complemento de um conjunto independente máximo é uma cobertura mínima de vértice.

Para encontrar uma cobertura mínima de vértices em um gráfico bipartido, consulte o teorema de König .

A solução fornecida está claramente incorreta, como você demonstra no contra-exemplo. Observe que o gráfico U + V é um componente conectado pelas arestas de capacidade infinita. Portanto, todo corte válido deverá conter todos os A, B, C, D, E, F do mesmo lado.

Tentando rastrear de onde veio a solução: http://www.cs.washington.edu/education/courses/cse521/01sp/flownotes.pdf cita Network Flows, de Ahuja, Magnanti e Orlin, para alguns dos problemas. Este livro não possui direitos autorais e pode ser baixado em http://archive.org/details/networkflows00ahuj, mas parece não conter esse problema e solução (procure todas as ocorrências de "bipartido").

Observe que o parágrafo de explicação da solução não mostra que o menor corte do gráfico que ele constrói corresponde ao conjunto independente máximo . Apenas mostra uma maneira de obter um conjunto independente.

E, no entanto, você pode ver o que o algoritmo está tentando fazer. Aqui está o que o conjunto independente máximo real corresponde em termos de seu corte s, t:

A borda de capacidade infinita que quebra o algoritmo é enfatizada.

Não sei como consertar o algoritmo para o que foi planejado. Talvez o custo de uma aresta infinita deva ser zero se retroceder (ou seja, para onde vai de S para T, mas passa do lado t para o lado s)? Mas ainda é fácil encontrar o min-cut / max-flow com essa não linearidade? Além disso, pensando em uma maneira de fazer a ponte entre a solução de @Jukka Suomela e o algoritmo da pergunta, há uma dificuldade em irmos da correspondência máxima para a cobertura mínima de vértices: encontrar a correspondência máxima pode ser feito por um fluxo máximo como o algoritmo, como você recupera a cobertura mínima de vértice usando um algoritmo semelhante ao fluxo? Conforme descrito aqui, depois que a correspondência máxima for encontrada, as arestas entre U e V serão direcionadas para encontrar a cobertura mínima de vértice. Portanto, novamente, isso não mostra que basta uma aplicação simples de min-cut / max-flow para resolver esse problema.

$S$$T$$S$

O corte deve estar no fluxo real, não nas capacidades. Como o fluxo de s é finito, qualquer corte {S, T} será finito. O resto é explicado acima.

$U$$V$

$G'$$\{A,C,D,F\}$