União de idiomas regulares que não são regulares

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Eu me deparei com essa pergunta: "Dê exemplos de dois idiomas regulares em que a união deles não produz um idioma comum".

Isso é muito chocante para mim, porque acredito que os idiomas regulares são fechados sob união. Que significa para mim que se eu tomar duas linguagens regulares e união deles, eu preciso obter uma linguagem regular.

E acho que compreendo a prova disso: nas minhas palavras, se os idiomas são regulares, existem autômatos que os reconhecem. Se pegarmos todos os estados (união) e adicionarmos um novo estado para o ponto de entrada, e modificarmos a função de transição para o novo estado com epsilon, estamos bem. Também mostramos que existe um caminho para todos os estados etc.

Você pode me dizer onde estou errado, ou talvez outra maneira de abordar a questão.

Fonte da pergunta, exercício 4, em francês.

Além disso, a mesma pergunta é feita com a interseção.

formal-languages regular-languages closure-properties

— Dave
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Uma outra maneira de ver isso. Suponha que uma união tão infinita produz uma linguagem regular. Considere qualquer linguagem não regular . Você pode dividir seus elementos em um número infinito de sub- onde cada um é finito (e, portanto, regular). Agora faça a união de todos os . Supondo que essa seja uma linguagem regular, mas assumimos que é uma linguagem não regular, portanto, uma contradição. Permitir o fechamento sob união infinita tornaria todos os idiomas regulares.

L

$L$

L_{i}

$L_i$

L_{i}

$L_i$

L_{i}

$L_i$

L

$L$

— Bakuriu 1/10/2014

Para união infinita: pegue qualquer idioma não regular e considere cada . Claramente é regular.

L = {w_{1}, w_{2}, w_{3}, \dots}

$L = \{w_1, w_2, w_3, \dots \}$

L_{i} = {w_{i}}

$L_i = \{w_i\}$

L_{i}

$L_i$

— Pål GD

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Há uma diferença significativa entre a pergunta que você faz e a pergunta feita no exercício. A pergunta pede um exemplo de um conjunto de idiomas regulares modo que sua união não seja regular. Observe o intervalo da união: a . Os idiomas regulares são fechados sob união finita e as provas são executadas ao longo das linhas que você esboça na pergunta; no entanto, isso se desfaz sob união infinita . Podemos mostrar isso tomando $L_{1}, L_{2}, \ldots$

L = ⋃_{i = 1}^{\infty} L_{i}

$L = \bigcup_{i=1}^{\infty}L_{i}$

1

$1$

\infty

$\infty$

para cada

(com

). A união infinita de línguas de curso dá a canônico não regular (sem contexto) linguagem

.

L_{i} = {0^{i} 1^{i}}

$L_{i} = \{0^{i}1^{i}\}$

i

$i$

Σ = {0, 1}

$\Sigma = \{0,1\}$

L = {0^{i} 1^{i} ∣ i \in N}

$L = \{0^{i}1^{i}\mid i \in \mathbb{N}\}$

Como um aparte, podemos ver facilmente onde a prova normal falha. Imagine à mesma construção em que adicionar um novo estado inicial e -transitions aos antigos estados iniciais. Se fizermos isso com um conjunto infinito de autômatos, construímos um autômato com um número infinito de estados, contradizendo obviamente a definição de um autômato finito . $\varepsilon$

Por fim, acho que a confusão pode surgir da formulação da pergunta original, que inicia "Donner deux exemples des suites de langages ...", que é ( ~~aproximadamente~~ , meu francês é um pouco enferrujado, mas verificado externamente!) "Dê dois exemplos de sequências de idiomas ...", em vez de "Dê dois exemplos de idiomas ...". Uma leitura incauta pode confundir o segundo com o primeiro.

— Luke Mathieson
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E definindo

como o conjunto de complemento de

, sua interseção também seria não-regular. Sua leitura em francês está certa, não apenas grosseiramente .

M_{i}

$M_i$

L_{i}

$L_i$

— Laurent LA RIZZA

Você está correto sobre a parte da tradução em francês. Eu pensei que essa parte da sequência não fosse importante. haha Obrigado pela resposta, a diferença agora está clara para mim.

— Dave

3

Para sua segunda pergunta, considere os idiomas definidos por Observe que para qualquer , é regular , como (1) o conjunto esquerdo é finito e, portanto, regular, (2) o conjunto direito é denotado pela expressão regular

M_{n} = {a^{k^{2}} ∣ 1 \leq k \leq n} \cup {a^{j} ∣ j \geq (n + 1)^{2}}

$M_n = \{a^{k^2}\mid 1\le k \le n\}\cup\{a^j\mid j\ge(n+1)^2\}$

n \geq 1

$n\ge 1$

M_{n}

$M_n$

a^{n} a a^{*}

$a^naa^*$ o mesmo ocorre com regularidade e (3) idiomas regulares são fechados em uniões finitas, como você já sabe.

Não é muito difícil mostrar que, para qualquer número inteiro , temos e, portanto, modo tão indutivo, temos (que na verdade não precisamos aqui, mas é muito bonito para deixar de fora). $n\ge 1$ $M_{n+1}\subseteq M_n$ $M_n\cap M_{n+1} = M_{n+1}$

⋂_{i = 0}^{n} M_{i} = M_{n}

$\bigcap_{i=0}^n M_i = M_n$

Agora observe que não contém , então nenhuma dessas cordas será na interseção completa. Como conseqüência teremos $M_n$ $a^{n^2+1},a^{n^2+2}, \dotsc, a^{(n+1)^2-1}$

⋂_{i = 0}^{\infty} M_{i} = {a^{n^{2}} ∣ n \geq 1}

$\bigcap_{i=0}^\infty M_i = \{a^{n^2}\mid n\ge 1\}$ que é conhecido por não ser um idioma comum. (Se você não conheceu esse fato, está em muitos textos teóricos e a prova vale a pena o esforço de leitura.)

— Rick Decker
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Por que escolher idiomas regulares complicados para mostrar que conjuntos regulares não são fechados sob união infinita? Os idiomas Singleton são suficientes para mostrar que qualquer idioma RE é uma união infinita de conjuntos regulares.

$L$ $w\in L$ $i=index(w)$ $L_i=\{w\mid i=index(w)\}$ $L_i$ $L =\bigcup_{i=1}^{\infty}L_i\;$ é RE.

$M_i=\Sigma^*\setminus L_i$ $M_i$ $\bigcap_{i=1}^{\infty}M_i= \Sigma^*\setminus L\;$ $L$

Portanto, qualquer linguagem recursiva é uma união infinita de conjuntos regulares e também uma interseção infinita de conjuntos regulares (não os mesmos, mas seus complementos :).

O infinito é cheio de surpresas, e o que é verdadeiro para valores arbitrariamente grandes pode não ser verdadeiro no infinito.

— babou
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$\{\epsilon\} \bigcup \{a\} \bigcup \{b\} \bigcup \{aa\} \bigcup \{bb\} \bigcup \{aaa\} \bigcup \{aba\} \bigcup \{bab\} \bigcup \{bbb\} \bigcup \ ...$

$\Sigma^* - \{ p_i \}$ $p_i$ $i$

— Andres
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