Problema semelhante ao conjunto de embalagem

Chame uma família de conjuntos "diversos" se cada conjunto tiver pelo menos um elemento exclusivo. Quais são as abordagens possíveis para encontrar o maior conjunto diversificado em uma família de conjuntos ?$\mathcal{F} = \{S_1, \dotsc, S_k\}$$S_i \in \mathcal{F}$$S$$\mathcal{F}$

Uma abordagem é resolver um problema de empacotamento de conjunto modificado. Suponha . Seja um subconjunto de elementos, , e . Então, o conjunto máximo diversificado corresponde ao maior pacote máximo obtido em que é o conjunto de todos os elementos não exclusivos em .$\mathcal{F}=\{S_1,\dotsc,S_k\}$$K$$K \subset \bigcup S_i$$\mathcal{F}_{-K}=\{S_1 \setminus K,\dotsc, S_k \setminus K\}$$S$$\mathcal{F}_{-L}$$L$$\mathcal{F}$

Mas, qual é uma boa heurística para escolher ? Ou existem abordagens melhores por completo?$K$

O problema está NP-completo. Isso exclui um algoritmo exato que funciona em todas as circunstâncias, mas não exclui algoritmos heurísticos que funcionam bem na prática ou algoritmo de aproximações com garantias de aproximação prováveis.

A redução é da 3SAT. Dada uma instância 3SAT com as variáveis e cláusulas , construa o sistema de conjunto a seguir. Para cada variável existem dois conjuntos e e define e para cada cláusula existe um conjunto . O conjunto consiste nos seguintes elementos:$\phi$$x_1,\ldots,x_n$$\phi_1,\ldots,\phi_m$$x_i$$A_{i,0}$$A_{i,1}$$N=n+1$$B_{i,t} = \{\beta_{i,t,0},\beta_{i,t,1}\}$$\phi_j$$C_j = \{\gamma_{j,1},\gamma_{j,2},\gamma_{j,3}\}$$A_{i,b}$

• Os elementos .$N+1$$\alpha_i,\beta_{i,1,b},\ldots,\beta_{i,N,b}$
• Para cada cláusula que contém como o ésimo literal e não é satisfeita por , o elemento .$\phi_j$$x_i$$k$$x_i = b$$\gamma_{j,k}$

Pode-se encontrar conjuntos diversos se e somente se for satisfatório. De fato, dada uma tarefa satisfatória , a família é diverso: pertence apenas a , pertence apenas a e se o ésimo literal de for satisfeito, então pertence apenas a .$n(N+1)+m$$\phi$$\vec{x}$$\{ A_i^{x_i} : i \in [n] \} \cup \{ B_{i,t} : i \in [n], t \in [N] \} \cup \{ C_j : j \in [m] \}$$\alpha_i$$A_i^{x_i}$$\beta_{i,t,1-x_i}$$B_{i,t}$$k$$\phi_j$$\gamma_{j,k}$$C_j$

Para o inverso, suponha que seja uma família diversificada de tamanho pelo menos , particionado de acordo com o tipo do conjunto. Se contiver e para alguns , então . Portanto, , o que é impossível. Portanto, e devem conter todos os conjuntos do tipo correspondente e deve conter conjuntos, que juntos codificam uma atribuição$\mathcal{S} = \mathcal{A} \cup \mathcal{B} \cup \mathcal{C}$$n(N+1)+m$$\mathcal{A}$$A_{i,0}$$A_{i,1}$$i$$B_{i,1},\ldots,B_{i,N} \notin \mathcal{B}$$|\mathcal{S}| \leq 2n + (n-1)N + m < n(N+1) + m$$\mathcal{B}$$\mathcal{C}$$\mathcal{A}$$n$$\vec{x}$ . Como é diverso, por construção a atribuição atende à cláusula , portanto, é satisfatório.$C_j \in \mathcal{S}$$\vec{x}$$\phi_j$$\phi$