Mostre que {xy ∣ | x | = | y |, x ≠ y} é livre de contexto

Lembro-me de me deparar com a seguinte pergunta sobre uma linguagem que supostamente é livre de contexto, mas não consegui encontrar uma prova do fato. Talvez eu tenha se lembrado errado da pergunta?

Enfim, aqui está a pergunta:

Mostre que o idioma é livre de contexto.$L = \{xy \mid |x| = |y|, x\neq y\}$

Reivindicação : é livre de contexto.$L$

Ideia de prova : deve haver pelo menos uma diferença entre a primeira e a segunda metade; damos uma gramática que gera uma e deixa o resto arbitrário.

Prova : por uma questão de simplicidade, assuma um alfabeto binário . A prova se estende facilmente para outros tamanhos. Considere a gramática G :$\Sigma = \{a,b\}$$G$

$\qquad\begin{align} S &\to AB \mid BA \\ A &\to a \mid aAa \mid aAb \mid bAa \mid bAb \\ B &\to b \mid aBa \mid aBb \mid bBa \mid bBb \end{align}$

É bastante claro que gera

$\qquad \mathcal{L}(G) = \{ \underbrace{w_1}_k x \underbrace{w_2v_1}_{k+l}y\underbrace{v_2}_l \mid |w_1|=|w_2|=k, |v_1|=|v_2|=l, x\neq y \} \subseteq \Sigma^*;$

$k$$l$$(x,y)$$w_2$$v_1$$w_2$$v_1$$x$$y$$\mathcal{L}(G) = L$$G$ não impõe outras restrições ao seu idioma.

O leitor interessado pode ter dois problemas de acompanhamento:

$L$

$\{xyz \mid |x|=|y|=|z|, x\neq y \lor y \neq z \lor x \neq z\}$