Problema de soma de subconjuntos com muitas condições de divisibilidade

Seja um conjunto de números naturais. Consideramos sob a ordem parcial de divisibilidade, ou seja, . DeixeiS s 1 ≤ s $S$$S$$s_1 \leq s_2 \iff s_1 \mid s_2$

$\qquad \displaystyle \alpha(S) = \max \{|V| \mid V\subseteq S, V$ e antichain $\}$ .

Se considerarmos o problema da soma do subconjunto em que o multiset de números está em $S$ , o que podemos dizer sobre a complexidade do problema relacionado a $\alpha(S)$ ? É simples ver se $\alpha(S)=1$ , então o problema é fácil. Observe que é fácil mesmo para o problema mais difícil da mochila quando $\alpha(S)=1$^$\dagger$ .

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$\dagger$ Resolvendo problemas seqüenciais da mochila por M. Hartmann e T. Olmstead (1993)

Esse problema pode ser resolvido em tempo polinomial usando programação linear, e isso é verdade para qualquer ordem parcial . A propósito, podemos provar por indução que, para qualquer conjunto de ordens parciais finitas , existe um conjunto finito e uma bijeção , de modo que para todos .$(S,\le)$$(S,\le)$$S'\subseteq\mathbb{N}$$f:S\rightarrow S'$$s_1,s_2\in S, s_1\le s_2 \Leftrightarrow f(s_1) | f(s_2)$

Vamos ser o conjunto formado pelas cadeias em . Lembre que é uma cadeia iff para todos os em , ou$\mathcal{C}$$S$$C$$v,v'$$C$$v\le v'$$v'\le v$

Agora criar uma variável booleana para cada , e um variável booleana para cada cadeia . Podemos escrever o seguinte programa linear para o nosso problema: $x_v$$v\in S$$y_C$$C$$(P)$

$$\begin{split} \text{Max} \displaystyle\sum\limits_{v\in S} x_v \\ \text{subject to} \displaystyle\sum\limits_{v\in C} &x_v \le 1, \forall C\in\mathcal{C}\\ &x_v \in \{0,1\}, v\in S \end{split}$$

e seu duplo :$(D)$

$$\begin{split} \text{Min} \displaystyle\sum\limits_{C\in \mathcal{C}} y_C\\ \text{subject to} \displaystyle\sum\limits_{C:v\in C} &y_C \ge 1, \forall v\in S\\ &y_C \in \{0,1\}, C\in \mathcal{C} \end{split}$$

Então, o problema de encontrar a cobertura mínima de um conjunto ordenado por cadeias é o dual do nosso problema. O teorema de Dilworth afirma que

Existe um antichain A e uma partição da ordem em uma família P de cadeias, de modo que o número de cadeias na partição seja igual à cardinalidade de A

which means that the optimal solution of these two problems match : $Opt(P)=Opt(D)$

Let $(P^*)$ (resp. $(D^*)$) be the relaxation of $(P)$ (resp. $(D)$) i.e. the same linear program where all constraints $x_v\in\{0,1\}$ (resp. $y_C\in\{0,1\}$) are replaced by $x_v\in [0,1]$ (resp. $y_C\in [0,1]$). Let $Opt(P^*)$ and $Opt(D^*)$ be their optimal solutions. Since $\{0,1\}\subseteq [0,1]$ we have :

$$Opt(P)\le Opt(P^*) \text{ and } Opt(D^*)\le Opt(D)$$ and weak duality theorem establishes that $Opt(P^*)\le Opt(D^*)$ then by putting everything together we have : $$Opt(P)= Opt(P^*)=Opt(D^*)=Opt(D)$$

Then, using Ellipsoid method, we can compute $Opt(P^*)$ ( $=Opt(P)$) in polynomial time. There are an exponential number of constraints but there exists a polynomial time separation oracle. Indeed given a solution $X$, we can enumerate all couples $s_1,s_2\in X$ and check if $s_1\le s_2$ or $s_2\le s_1$, and therefore decide in polynomial time whether $X$ is feasible or otherwise the constraint associated to the chain $\{v_1,v_2\}$ is violated.