Contando pares de inversão

Uma aplicação clássica de dividir e conquistar é resolver o seguinte problema:

Dada uma matriz de elementos distintos e comparáveis, conte o número de pares de inversão na matriz: pares modo que e . $a[1\dots n]$ $(i,j)$ $a[i] \gt a[j]$ $i \lt j$

Uma abordagem para isso é fazer uma classificação de mesclagem, mas também contar o número de pares de inversão nos subproblemas. Durante a etapa de mesclagem, contamos o número de pares de inversão que se estendem pelos (dois) subproblemas e aumentam as contagens dos subproblemas.

Enquanto isso é bom e fornece um algoritmo de tempo , isso atrapalha a matriz. $O(n\log n)$

Se tivermos a restrição adicional de que a matriz é somente leitura, podemos fazer uma cópia e lidar com a cópia ou usar uma estrutura de dados adicional, como uma árvore binária balanceada de estatísticas de ordem para fazer a contagem, ambas as quais usam $\Theta(n)$ Espaço .

A questão atual é tentar melhorar o espaço, sem afetar o tempo de execução. ie

Existe um algoritmo de tempo $O(n\log n)$ para contar o número de pares de inversão, que funciona em uma matriz somente leitura e usa espaço sub-linear (isto é, $o(n)$ )?

Suponha um modelo de RAM de custo uniforme e que os elementos $O(1)$ espaço e a comparação entre eles seja $O(1)$ .

Uma referência serve, mas uma explicação será melhor :-)

Tentei pesquisar na web, mas não consegui encontrar nenhuma resposta positiva / negativa para isso. Suponho que isso seja apenas uma curiosidade.

algorithms reference-request arrays

— Aryabhata
fonte

Chan e Pătraşcu fornecem um algoritmo de tempo , mas, tanto quanto posso ver ao escanear o papel, eles precisam de espaço .

o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Raphael

Além disso, Ajtai et al. provar que qualquer algoritmo (exato) de

tempo de fluxo precisa de

espaço. Parece haver aproximações que atendem aos seus critérios.

O (n)

$O(n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Raphael

@Raphael: Obrigado! Se não houver resposta, seu comentário seria a melhor resposta até o momento.

— Aryabhata

BTW Estou um pouco confuso sobre esse limite inferior de Ajtai e cols. Teorema 8 diz "qualquer algoritmo", mas o limite inferior para mim parece ser contra a única passagem exata streaming de algoritmos, um modelo muito restrito

— Sasho Nikolov

@ShohoNikolov: Eu acho que eles definiram globalmente seu modelo para algoritmos de streaming, então "any" seria restrito a eles. Espero que meu corolário - qualquer algoritmo exato de tempo

- esteja correto, ou seja, que qualquer algoritmo de tempo linear possa ser expresso como um algoritmo de fluxo contínuo com muitas passagens constantes. Veremos .

O (n)

$O(n)$

— Raphael

Aqui está a resposta de Rafael:

Chan e Pătraşcu fornecem um algoritmo de tempo , mas, tanto quanto posso ver ao escanear o papel, eles precisam de espaço. Além disso, Ajtai et al. provar que qualquer algoritmo (exato) de tempo de fluxo precisa de espaço. Parece haver aproximações que atendem aos seus critérios. $o(n\log n)$ $\Omega(n)$ $O(n)$ $\Omega(n)$

— Yuval Filmus
fonte

Obrigado por fazer uma resposta. Vou dar um pouco mais de tempo. O tráfego parece estar aumentando.

— Aryabhata