Complexidade temporal de um loop triplo-aninhado

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Por favor, considere o seguinte loop aninhado triplo:

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = i; j <= n; ++j)
        for (int k = j; k <= n; ++k)
            // statement

A instrução aqui é executada exatamente vezes. Alguém poderia explicar como essa fórmula foi obtida? Obrigado. $n(n+1)(n+2)\over6$

algorithms time-complexity algorithm-analysis

— Xin
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A pergunta Fórmula de complexidade temporal de loops aninhados também pode ser interessante.

— Juho

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Você pode contar o número de vezes que o loop for mais interno é executado, contando o número de trigêmeos para os quais é executado. $(i,j,k)$

Pelas condições do loop, sabemos que: . Podemos reduzi-lo ao seguinte problema combinatório simples. $1 \leq i \leq j \leq k \leq n$

Imagine caixas de cor vermelha colocadas em uma matriz da esquerda para a direita. $n+2$
Escolha quaisquer 3 caixas das caixas e pinte-as de azul. $n+2$
Forme um trigêmeo seguinte maneira:
- = 1 + número de caixas coloridas vermelhas à esquerda da primeira caixa azul. $i$
- = 1 + número de caixas coloridas vermelhas à esquerda da segunda caixa azul. $j$
- = 1 + número de caixas coloridas vermelhas à esquerda da terceira caixa azul. $k$

Então, só precisamos contar o número de maneiras de escolher 3 caixas de caixas que é $n+2$ . $n+2 \choose 3$

— rizwanhudda
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Boa resposta! Os valores exatos de i, j, k não são importantes. Só precisamos saber que qualquer caixa azul pode ser colocada em n posições possíveis e que suas posições são limitadas: a segunda vem sempre depois da 1ª e antes da 3ª.

— Dávid Natingga

@rizwanhudda Limpar, exceto pela parte

em

. Você pode explicar isso por favor?

parece com o número certo.

+ 2

$+2$

n + 2

$n+2$

n + 3

$n+3$

— Saadtaame

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@saadtaame Sim. Você pode imaginar ter

caixas vermelhas, mas ter liberdade para escolher 3 caixas vermelhas para pintar azul entre "

caixas vermelhas", pois não é possível colorir a primeira caixa como azul (Desde

)

n + 3

$n+3$

n + 2

$n+2$

i \geq 1

$i \geq 1$

— rizwanhudda

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para mim, é mais fácil notar que o loop interno é executado vezes e o número total de execuções no loop interno é $n-i$

$(n-i)+(n-i-1)+(n-i-2)+\ldots+1$

isso pode ser reescrito como e é executado vezes, portanto, o número total de execuções é $\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j$ $n$

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n - i} n - i - j = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}

$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

— andy mcevoy
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Um desafio para você: imagine que você tem um loop x-aninhado. De acordo com a resposta anterior, ele executaria (n + x-1) escolher x vezes. Como você calcularia sua fórmula?

— Dávid Natingga 25/08/12

felizmente, o OP não pediu x-nested! Como a outra resposta dada se expande para um loop x-aninhado? Minha resposta deve receber mais somas de 0 a n, 0 a n-i_1, 0 a n-i_2, ..., 0 a n-i_x. Mas eu não saberia como calcular isso.

— 22612 Andy

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A resposta não se expande explicitamente para um x geral, mas o processo de raciocínio apresentado é fácil de seguir para loops x-aninhados. Você acabou de adicionar mais caixas azuis. Também não sei como calcularia essas mais somas.

— Dávid Natingga 25/08/12