Existe um algoritmo eficiente para equivalência de expressão?

por exemplo, ? $xy+x+y=x+y(x+1)$

As expressões são da álgebra comum do ensino médio, mas restritas à adição e multiplicação aritmética (por exemplo, ), sem inversões, subtrações ou divisões. Letras são variáveis. $2+2=4; 2.3=6$

Se ajudar, podemos proibir qualquer expressão representável com valores numéricos diferentes de ; ou seja, não nem nem : $1$ $x^2$ $3x$ $4$

multilinear , nenhum outro poder além de : está OK, mas não e nada que possa ser representado como esse, como em um expansão total para a soma dos produtos, por exemplo, não ; $1$ $x+xy \equiv x^1+x^1y^1$ $x^2+x^3y^4$ $x(x+y) \equiv x^2+y$
todos , nenhum coeficiente diferente de : está OK, mas não , e nada que possa ser representado como tal, como em uma expansão completa para a soma de- produtos, por exemplo, não ; e $1$ $x+xy \equiv 1.x+1.xy$ $2x+3xy$ $a(x+y)+x(a+b) \equiv 2ax+ay+bx$
nenhuma constante diferente de $1$ : novamente, na soma de produtos totalmente expandida, por exemplo, não $(a+1)+(b+1) \equiv a+b+2$

$Q.$ Existe um algoritmo eficiente para determinar se duas expressões são equivalentes?

Para ilustrar, aqui está um algoritmo de força bruta ineficiente com tempo exponencial:

expanda ambas as expressões totalmente para a soma de produtos , que pode ser facilmente verificada quanto à equivalência (apenas ignore o pedido, pois o comutador / associado pode reordenar).

Por exemplo,
$(a+b)(x+y) \rightarrow ax+ay+bx+by$
$a(x+y)+b(x+y) \rightarrow ax+ay+bx+by$

Esse parece ser um problema bem conhecido - mesmo os alunos do ensino médio aprendem maneiras manuais de resolvê-lo. Também é resolvido por verificadores / verificadores de teoremas automatizados, mas eles se concentram em aspectos mais sofisticados.

Aqui está um comprovador de teorema automatizado on-line em funcionamento: http://tryacl2.org/ , que mostra equivalência ao encontrar uma sequência de comutação / associação / distribuição etc:

$xy+x+y=x+y(x+1)$ ?
(thm (= (+ (* x y) x y) (+ x (* y (+ x 1))) ))--- 188 passos

$y+x(y+1)=x+y(x+1)$ ?
(thm (= (+ y (* x (+ y 1))) (+ x (* y (+ x 1))) ))--- 325 passos

Esta é a minha primeira pergunta aqui, por favor, deixe-me saber se eu escolhi o lugar errado, tags erradas, maneira errada de descrever / perguntar etc. Obrigado!
NB: esta pergunta foi reescrita em resposta a comentários
Obrigado a todos os respondentes! Eu aprendi muito.

complexity-theory time-complexity decision-problem

— hiperpálio
fonte

A questão aqui precisa de alguns esclarecimentos. Em que campo você está operando? Os objetos como " " e " " nas suas expressões são elementos do campo ou variáveis? Na verdade, é um campo (ou seja, adição e multiplicação têm inversos)? Observe que a soma dos produtos não ajuda porque tem exponencialmente muitos termos.

a

$a$

b

$b$

(a_{1} + b_{1}) (a_{2} + b_{2}) \dots (a_{n} + b_{n})

$(a_1+b_1)(a_2+b_2)\cdots(a_n+b_n)$

— David Richerby

Se os objetos são variáveis e a subtração é permitida, você está basicamente perguntando sobre o teste de identidade polinomial, que possui um algoritmo de tempo polinomial aleatório pelo lema de Schwartz – Zippel . iff e a idéia básica é que um polinômio que não seja identicamente zero não tem muitas raízes, portanto, se você começar a adivinhar as raízes aleatoriamente e encontrar muitas raízes, há uma alta probabilidade de que seu polinômio seja identicamente zero.

f (x) = g (x)

$f(x)=g(x)$

f (x) - g (x) = 0

$f(x)-g(x)=0$

— David Richerby

Estou surpreso que ninguém tenha mencionado isso ainda, mas "se estiver no NP, não preciso me preocupar em encontrar um algoritmo polinomial" não faz sentido. Todo problema em P também está em NP. Você provavelmente quis perguntar se o problema é NP-complete (ou -hard).

— Tom van der Zanden

Se você se esforçar com o básico, nossas perguntas de referência podem ser úteis para você.

— Raphael

@ hyperpallium Antes de perguntar se um idioma (ou seja, um problema de decisão) está no NP, é melhor se você entendeu o que isso significa. Talvez as perguntas de referência às quais Raphael se relacionasse ajudassem.

— Yuval Filmus

Respostas:

Seu problema reduz a zero o teste de polinômios multivariados, para os quais existem algoritmos aleatórios eficientes.

Suas expressões são todos polinômios multivariados. Aparentemente, suas expressões são construídas pelas seguintes regras: (a) se é uma variável, então é uma expressão; (b) se é uma constante, então é uma expressão; (c) se são expressões, e são expressões. Se é realmente isso que você pretendia, toda expressão é um polinômio multivariado sobre as variáveis. $x$ $x$ $c$ $c$ $e_1,e_2$ $e_1+e_2$ $e_1e_2$

Agora, você quer saber se duas expressões são equivalentes. Isso equivale a testar se dois polinômios multivariados são equivalentes: dados e , você deseja saber se esses dois polinômios são equivalentes. Você pode testar isso subtraindo-os e verificando se o resultado é idêntico a zero: defina $p_1(x_1,\dots,x_n)$ $p_2(x_1,\dots,x_n)$

q (x_{1}, \dots, x_{n}) = p_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) - p_{2} (x_{1}, \dots, x_{n}) .

$q(x_1,\dots,x_n) = p_1(x_1,\dots,x_n) - p_2(x_1,\dots,x_n).$

Agora são equivalentes se e somente se for o polinômio zero. $p_1,p_2$ $q$

Testar se é identicamente zero é o problema de teste zero para polinômios multivariados. Existem algoritmos eficientes para isso. Por exemplo, um exemplo de algoritmo é avaliar em muitos valores aleatórios de . Se você encontrar um valor de tal que , você saberá que não é identicamente zero, ou seja, não são equivalentes. Se, após muitas tentativas, todas forem zero, você poderá concluir que é identicamente zero (se $q$ $q(x_1,\dots,x_n)$ $x_1,\dots,x_n$ $x_1,\dots,x_n$ $q(x_1,\dots,x_n)$ $q$ $p_1,p_2$ $q$ $q$ não é identicamente zero, a probabilidade de que todos esses ensaios produzam zero pode ser exponencialmente baixa). O número de iterações que você precisa fazer está relacionado ao grau de ; consulte a literatura sobre teste de identidade polinomial para obter detalhes. $q$

Por exemplo, consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Schwartz%E2%80%93Zippel_lemma e http://rjlipton.wordpress.com/2009/11/30/the-curious-history-of-the- schwartz-zippel-lema /

Esses algoritmos se aplicam se você estiver trabalhando em um campo finito. Você não indicou em que campo / anel está trabalhando e se está tratando essas expressões como expressões formais (por exemplo, polinômios como objetos abstratos) ou como funções de . Se você estiver trabalhando em um campo finito, os métodos acima se aplicam imediatamente. $\mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$

Se você estiver tratando as expressões como objetos formais, suas expressões serão equivalentes a polinômios multivariados com coeficientes inteiros. Você pode testar a equivalência destes, escolhendo um grande nobre aleatório e teste de equivalência modulo , ou seja, no campo . Repita isso polinomialmente várias vezes, com diferentes valores aleatórios de , e você deve obter um algoritmo aleatório eficiente para testar a equivalência dessas expressões formais. $r$ $r$ $\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$ $r$

— DW
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Por outro lado, seria difícil provar que, para cada expressão idêntica a zero, há uma prova não muito longa de que a expressão é idêntica a zero.

$\;$

@RickyDemer, ótimo ponto! Boa observação. Eu interpretei a pergunta como perguntando sobre testar a equivalência em vez de provar isso, mas é uma observação muito boa. (Se você deseja exibir uma prova de equivalência na prática, suspeito que seja possível exibi-la, se você estiver disposto a fazer suposições criptográficas, para alguma definição de "prova" - por exemplo, um esquema que atinja a solidez na modelo oracle aleatório.)

— DW

Obrigado! Estou tratando-os como objetos formais, sem inversões, divisão ou subtração (mas usando álgebra do ensino médio para esta pergunta; parece mais provável que já esteja resolvido). Você quer dizer, continue escolhendo primos aleatórios grandes , e isso está tratando as expressões como se fossem campos finitos sobre o conjunto subjacente de números inteiros ? Esse link da wiki diz que não há algoritmo determinístico subexponencial conhecido para esse teste zero. Você sabe se isso se aplica ao meu problema?

r

$r$

[0.. r - 1]

$[0..r-1]$

— hyperpallium

@ Hyperpallium, sim, exatamente isso que eu quero dizer. Sim, acredito que isso também se aplica ao seu problema. Por isso, sugeri um algoritmo aleatório - existem algoritmos aleatórios eficientes, mesmo que não existam algoritmos determinísticos eficientes conhecidos.

— DW

Como apontado em um comentário acima, o OP não está funcionando em um campo finito, mas sim em uma semutração comutativa. Isso significa que não é garantido que existem inversos aditivos; portanto, "subtrair" as expressões para verificar a igualdade com zero não é uma operação válida.

— apnorton

Para acompanhar as restrições de uma potência , um coeficiente e uma constante na pergunta:

Eles definem um subconjunto do problema do teste de identidade polinomial. Claramente, eles podem ser resolvidos com uma técnica que resolve o problema geral. A questão é se eles formam um subconjunto que é mais facilmente resolvido.

coeficiente único : em problemas sem isso, os termos podem ser combinados, facilitando o problema. Considere o triângulo do Teorema Binomial / Pascal para . Isso pode ser expandido um fator de cada vez, produzindo termos com ordens sobrepostas, por exemplo Os menos termos facilitam a expansão com o próximo fator: e novamente os termos são combinados, criando um problema menor e mais simples. Essa combinação de termos é uma forma de programação dinâmica. $(a+b)^n$ $(a+b)(a+b) = aa+ab+ab+bb = aa+2ab+bb$ $(aa+2ab+bb)(a+b) = aaa+2aab+abb + aab+2abb+bbb = aaa+3aab+3abb+bbb$

Ou seja, a possibilidade de combinar termos, criando um coeficiente diferente de um, facilita e não dificulta o problema.

(Embora haja mais trabalho em cálculo na multiplicação de coeficientes que não sejam um)

constantes não-uma são incluídas no argumento acima, considerando constantes como variáveis com expoente zero.

poder único Eu não acho que isso faça alguma diferença. Embora expoentes não-um possam ser criados de mais de uma maneira (por exemplo, ), isso pode levar a sobreposição e combinação (como no triângulo Binomial Theorm / Pascal acima ), a combinação real só é possível se não forem permitidos coeficientes. $a^4=a^2a^2=a^1a^3$

O exposto acima não é um argumento formal ou rigoroso. Baseia-se em uma suposição sobre o que dificulta o problema. Mas parece-me que a combinação de termos apenas cria um problema mais fácil - portanto, impedir isso pela única restrição de coeficiente não tornará o subconjunto mais fácil.

— hiperpálio
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