Encontre um pequeno superconjunto de pelo menos k de n conjuntos

Digamos que recebemos $n$ conjuntos e o tamanho de sua união é $m$. Gostaríamos de construir um pequeno conjunto que contenha pelo menos$k$ do $n$ determinados conjuntos.

Vamos supor que $m$ é menor do que algum polinômio em $n$, ou seja: $m < P(n)$. Nesse caso, existe um algoritmo eficiente (polinomial) para o problema de otimização:

Encontre o menor conjunto que contenha pelo menos $k$ do $n$ determinados conjuntos.

O problema é NP-completo. Aqui está uma redução do 3SAT-5, uma versão NP completa do 3SAT, na qual todas as variáveis ​​aparecem exatamente 5 vezes (e, portanto, o número de variáveis ​​e o número de cláusulas são linearmente relacionados).

Começamos construindo dois sistemas de conjuntos. O primeiro sistema$\mathcal{S}$ consiste em 6 conjuntos $A_0,A_1,B_0,B_1,C_0,C_1$ e 15 elementos $D = \{0,1\}^4 \setminus (1,1,1,1)$e tem a seguinte propriedade:

$$|A_i \cup B_j \cup C_k| = \begin{cases} 14 & \text{if } i=j=k=0, \\ 13 & \text{otherwise}. \end{cases}$$ O sistema definido é dado por $$\begin{align*} A_i &= \{(a,b,c,d) \in D : a = i\}, \\ B_i &= \{(a,b,c,d) \in D : b = i\}, \\ C_i &= \{(a,b,c,d) \in D : c = i\}. \end{align*}$$ Os únicos elementos não cobertos por $A_i \cup B_j \cup C_k$ são aqueles da forma $(1-i,1-j,1-k,d)$. E se$i = j = k = 0$ então existe um desses elementos, caso contrário, existem dois.

O segundo sistema $\mathcal{T}$ consiste em $2n$ conjuntos $X_1,Y_1,\ldots,X_n,Y_n$ e $O(n^2)$elementos e possui a seguinte propriedade Ligue para uma família de$n$ sai de $\mathcal{T}$ adequado se contiver exatamente um de cada$X_i,Y_i$. Todas as famílias apropriadas de$n$ conjuntos cobrem o mesmo número de elementos $M$e cada família imprópria de $n$ conjuntos abrange pelo menos $M+1$ elementos.

O conjunto de elementos consiste em todos os pares de conjuntos não ordenados $\{S,T\}$ diferentes dos da forma $\{X_i,Y_i\}$. Cada conjunto$S \in \mathcal{T}$ consiste em todos $2n-2$pares que o contêm. Deixei$\mathcal{F}$ ser uma família de $n$ conjuntos, com complemento $\overline{\mathcal{F}}$. Os únicos elementos não cobertos por$\mathcal{F}$ são aqueles da forma $\{S,T\}$ Onde $S,T \in \overline{\mathcal{F}}$. E se$\mathcal{F}$ é adequado, então é $\overline{\mathcal{F}}$e, portanto, há elementos não abordados. Se estiver incorreto, também o será e, portanto, haverá menos de elementos não abordados.$\binom{n}{2}$$\mathcal{F}$$\overline{\mathcal{F}}$$\binom{n}{2}$

A redução. Seja uma instância do 3SAT-5 com variáveis ​​e cláusulas. Para cada cláusula existe uma cópia do sistema . Há também uma cópia de na qual cada elemento é substituído por elementos. O número total de elementos é polinomial em .$\phi$$n$$m=5n/3$$\phi_j$$\mathcal{S}_j$$\mathcal{S}$$\tilde{\mathcal{T}}$$\mathcal{T}$$N = 13m+1$$n$

Para cada variável existem dois conjuntos e . O conjunto é a união dos seis conjuntos a seguir:$x_i$$X_i^0$$X_i^1$$X_i^0$

• o conjunto de$X_i$$\tilde{\mathcal{T}}$
• para cada cláusula contém na primeira posição, se aparecer positivamente, o conjunto de , caso contrário, o conjunto de$\phi_j$$x_i$$x_i$$A_0$$\mathcal{S}_j$$A_1$$\mathcal{S}_j$
• para cada cláusula contendo na segunda posição, ou (como acima)$\phi_j$$x_i$$B_0$$B_1$
• para cada cláusula contém na terceira posição, ou (como acima)$\phi_j$$x_i$$C_0$$C_1$

O conjunto é definido da mesma forma que a união dos seis conjuntos a seguir:$X_i^1$

• o conjunto de$Y_i$$\tilde{\mathcal{T}}$
• para cada cláusula contendo na primeira posição, se aparecer negativamente, o conjunto de , caso contrário, o conjunto de$\phi_j$$x_i$$x_i$$A_0$$\mathcal{S}_j$$A_1$$\mathcal{S}_j$
• para cada cláusula contendo na segunda posição, ou (como acima)$\phi_j$$x_i$$B_0$$B_1$
• para cada cláusula contém na terceira posição, ou (como acima)$\phi_j$$x_i$$C_0$$C_1$

O problema é decidir se existem conjuntos que juntos cobrem elementos (ou menos).$n$$13m+NM$

Se for satisfatório, digamos com a atribuição da verdade , então cobre exatamente elementos . Por outro lado, suponha que exista uma maneira de cobrir no máximo elementos . Se a solução for inadequada, ela abrange pelo menos elementos (considerando apenas ). Se for apropriado, corresponde a alguma atribuição de verdade , e é fácil verificar se o número de elementos cobertos é , onde é o número de cláusulas falsas. Portanto, e concluímos que$\phi$$x_i$$\{X_i^{x_i} : 1 \leq i \leq n\}$$13m+NM$$13m+NM$$N(M+1) > 13m+NM$$\tilde{\mathcal{T}}$$x_i$$13m+NM+Z$$Z$$Z = 0$$x_i$ é uma tarefa satisfatória.