Qual é o algoritmo e a estrutura de dados mais eficientes para manter as informações dos componentes conectados em um gráfico dinâmico?

Digamos que eu tenha um gráfico esparso finito não direcionado e precise executar as seguintes consultas com eficiência:

- retornos , se existir um caminho entre e , de outro modo $IsConnected(N_1, N_2)$ $T$ $N_1$ $N_2$ $F$
- retorna o conjunto dos nós que são acessíveis a partir de $ConnectedNodes(N)$ $N$

Isso é feito facilmente pré-computando os componentes conectados do gráfico. Ambas as consultas podem ser executadas no tempo . $O(1)$

Se também precisa de ser capaz de adicionar bordas arbitrariamente - -, em seguida, que pode armazenar os componentes em uma estrutura de dados disjuntos-conjunto . Sempre que uma aresta é adicionada, se conectar dois nós em componentes diferentes, eu mesclaria esses componentes. Isso adiciona custo a e $AddEdge(N_1, N_2)$ $O(1)$ $AddEdge$ custo de e (o qual pode também ser ). $O(InverseAckermann(|Nodes|))$ $IsConnected$ $ConnectedNodes$ $O(1)$

Se eu também precisar remover arestas arbitrariamente, qual é a melhor estrutura de dados para lidar com essa situação? Alguém é conhecido? Para resumir, ele deve oferecer suporte às seguintes operações com eficiência:

- retornos , se existir um caminho entre e , de outro modo . $IsConnected(N_1, N_2)$ $T$ $N_1$ $N_2$ $F$
- retorna o conjunto dos nós que são acessíveis a partir de . $ConnectedNodes(N)$ $N$
- adiciona uma aresta entre dois nós. Observe que , ou ambos podem não ter existido antes. $AddEdge(N_1, N_2)$ $N_1$ $N_2$
- remove uma aresta existente entre dois nós. $RemoveEdge(N_1, N_2)$

(Estou interessado nisso da perspectiva do desenvolvimento do jogo - esse problema parece ocorrer em várias situações. Talvez o jogador possa construir linhas de força e precisamos saber se um gerador está conectado a um prédio. Talvez o jogador possa bloquear e destrancar portas, e precisamos saber se um inimigo pode alcançar o jogador. Mas é um problema muito geral, então eu o expressei como tal)

— user253751
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não poderia rodar em

, porque se ele retorna uma lista de

nodos, seria necessário

de tempo. Execução

com um BFS é óptima, de modo que uma estrutura de dados potencial só seria necessário para suportar IsConnected, AddEdge e RemoveEdge. Isso parece relevante para sua pergunta:

C o n n e c t e d N o d e s

$ConnectedNodes$

O (1)

$O(1)$

n

$n$

Ω (n)

$\Omega(n)$

C o n n e c t e d N o d e s

$ConnectedNodes$ stackoverflow.com/questions/7241151/...

— Tom van der Zanden

O (1)

$O(1)$

C o n n e c t e d N o d e s

$ConnectedNodes$

O (1)

$O(1)$

I s C o n n e c t e d

$IsConnected$ .

— user253751

Esse problema é conhecido como conectividade dinâmica e é uma área ativa de pesquisa na comunidade teórica da ciência da computação. Ainda alguns problemas importantes ainda estão abertos aqui.

Para esclarecer a terminologia, solicite conectividade totalmente dinâmica, pois você deseja adicionar e excluir arestas. Há um resultado de Holm, de Lichtenberg e Thorup (J.ACM 2001) que alcança $O(\log^2 n)$ hora de atualização e $O(\log n / \log\log n)$ tempo de consulta. Pelo meu entendimento, parece ser implementável. Simplesmente falando, a estrutura de dados mantém uma hierarquia de árvores abrangidas - e a conectividade dinâmica nas árvores é mais fácil de cobrir. Posso recomendar as anotações de Erik D. Demaine para uma boa explicação, veja aqui um vídeo. A nota de Erik também contém indicadores para outros resultados relevantes. Nota: todos esses resultados são teóricos.

Essas estruturas de dados podem não fornecer consultas ao ConnectedNodes por si só, mas é fácil conseguir isso. Basta manter como estrutura de dados adicional o gráfico (por exemplo, lista de arestas duplamente conectadas) e fazer a pesquisa em profundidade para obter os nós que podem ser alcançados a partir de um determinado nó.

— A.Schulz
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