Facetas conhecidas do politopo Viajante do Problema do Vendedor

Para o método de ramificação e corte, é essencial conhecer muitas facetas dos politopos gerados pelo problema. No entanto, atualmente é um dos problemas mais difíceis de calcular todas as facetas desses polítopos à medida que crescem rapidamente em tamanho.

Para um problema de otimização arbitrário, o politopo usado pelos métodos de ramificação e corte ou também pelos métodos do plano de corte é o casco convexo de todos os vértices possíveis. Um vértice é uma atribuição de todas as variáveis do modelo. Como um exemplo (muito simples): se alguém maximizasse st e então os vértices , e são vértices viáveis. viola a desigualdade e, portanto, não é viável. O problema de otimização (combinatória) seria escolher entre os vértices possíveis. (Nesse caso, obviamente $2\cdot x+y$ $x+y \leq 1$ $0\leq x,y\leq 1.5$ $(0,0)$ $(0,1)$ $(1,0)$ $(1,1)$ $x+y\leq 1.5$ $(1,0)$ é o ideal). O casco convexo desses vértices é o triângulo com exatamente esses três vértices. As facetas deste simples poliepítopo são , e . Observe que a descrição pelas facetas é mais precisa que o modelo. Na maioria dos problemas difíceis - como o TSP - o número de facetas excede o número de desigualdades de modelo em várias ordens de magnitude. $x\geq0$ $y\geq 0$ $x+y\leq 1$

Considerando o problema do vendedor ambulante, para qual número de nós o polítopo é totalmente conhecido e quantas facetas existem. se não estiver completo, quais são os limites inferiores no número de facetas?

Estou particularmente interessado na formulação do chamado caminho hamiltoniano do TSP:

m Eu n \sum_{Eu = 0 0}^{n - 1} (\sum_{j = 0 0}^{Eu - 1} c_{Eu, j} \cdot x_{Eu, j} + \sum_{j = Eu + 1}^{n - 1} c_{Eu, j} \cdot x_{Eu, j})

$min \sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{i-1}c_{i,j}\cdot x_{i,j}+\sum_{j=i+1}^{n-1}c_{i,j}\cdot x_{i,j})$ st

\forall i \neq j : 0 \leq x_{i, j} \leq 1

$\forall i \neq j:\ \ 0 \leq x_{i,j}\leq 1$

\forall i \neq j x_{i, j} + x_{j, i} \leq 1

$\forall i \neq j\ \ \ x_{i,j}+x_{j,i}\leq 1$

\forall j \sum_{i = 0 0}^{j - 1} x_{Eu, j} + \sum_{Eu = j + 1}^{n - 1} x_{Eu, j} \leq 1

$\forall j \ \ \sum_{i=0}^{j-1}x_{i,j}+\sum_{i=j+1}^{n-1}x_{i,j}\leq 1$

\forall j \sum_{Eu = 0 0}^{j - 1} x_{j, Eu} + \sum_{Eu = j + 1}^{n - 1} x_{j, Eu} \leq 1

$\forall j \ \ \sum_{i=0}^{j-1}x_{j,i}+\sum_{i=j+1}^{n-1}x_{j,i}\leq 1$

\sum_{Eu = 0 0}^{n - 1} (\sum_{j = 0 0}^{Eu - 1} x_{Eu, j} + \sum_{j = Eu + 1}^{n - 1} x_{Eu, j}) = n - 1

$\sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{i-1}x_{i,j}+\sum_{j=i+1}^{n-1}x_{i,j})=n-1$

Se você tiver alguma informação sobre politopos de outras formulações do TSP, sinta-se à vontade para compartilhar isso também.

— Stefan
fonte

Pessoalmente, não sei ao certo o que significa "politopo de um problema". Mas então, tenho pouco conhecimento em teoria da complexidade.

— Raphael

Na verdade, não é uma teoria da complexidade (não fui eu etiquetando essa tag). Na verdade, ainda não existe uma tag adequada para esse tipo de pergunta. Uma etiqueta adequada seria o método de ramificação e corte ou plano de corte. Vou acrescentar algumas informações sobre o que polytope estou falando pouco

— Stefan

@ Rafael: Eu atualizei a pergunta, para que você possa ler algo sobre facetas e polítopos.

— Stefan

@ stean: Ah, então é apenas o espaço de soluções viáveis. Nesse caso, a pesquisa do TSP é claramente exponencial em tamanho; caso contrário, tínhamos P = NP há muito tempo. Ainda mais, o TSP é geralmente definido em gráficos completos não direcionados, portanto, existem exatamente

n!

$n!$ soluções viáveis. Portanto, não vejo o que mais você procura; talvez eu não tenha um detalhe importante da sua pergunta. Talvez você tenha anotado o LP relaxado, não o IP?

— Raphael

@ Rafael, é o casco convexo de soluções viáveis. você está certo de que, a menos que P = NP, este casco convexo tenha exponencialmente muitas facetas. no entanto, o número de vértices não tem nada a ver com isso: o casco convexo dos vetores binários

{0, 1}^{n}

$\{0, 1\}^n$ é o cubo booleano que possui apenas

2 n

$2n$ facetas. além disso, ter muitas facetas exponencialmente também não significa que não há um polítopo de maior dimensão que se projeta para o determinado. por exemplo, pegue o casco convexo dos vetores de base padrão, que tem

2^{n}

$2^n$ facetas, mas é a projeção de um pequeno programa linear.

— Sasho Nikolov 5/09/12

Respostas:

Para limites assintóticos, Fiorini, Massar, Pokutta, Tiwari e de Wolf recentemente mostraram limites inferiores exponenciais no número de facetas de qualquer politopo que se projeta no politopo do TSP (o poltope do TSP, sendo o casco convexo das soluções viáveis do TSP). Isso é mais forte do que você solicita e implica que mesmo adicionar variáveis extras não tornará o politopo do TSP eficientemente representável.

O artigo deles segue o clássico de 1988 de Yannakakis, que mostrou o mesmo resultado, mas apenas para politopos que satisfazem uma certa condição de simetria.

— Sasho Nikolov
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Obrigado por este link! Certamente é um resultado impressionante, mesmo que fosse estranho ter um bom politopo (= crescimento não exponencial) para um problema de NP.

— 21413 stefan

a parte surpreendente é ser capaz de provar isso :)

— Sasho Nikolov

@stefan afaik Um polopólio polinomial crescente para um problema de NP implicaria P = NP como afirma Rafael acima ... também alguém viu uma declaração / discussão sobre o que seria necessário para estender o Fiorini et al a uma prova de P! = NP?

— vzn

a resposta curta é que o resultado é sobre um modelo computacional mais fraco do que as TMs delimitadas por tempo policíclico, e você gostaria de uma versão dele para um modelo que seja tão forte quanto P. para evidências de que formulações estendidas são mais fracas que P, Rothvoss recentemente provou que o políope correspondente tem complexidade de extensão exponencial; no entanto, funções lineares arbitrárias sobre o pólipo correspondente podem ser resolvidas usando o algoritmo de Edmonds ou o método elipsóide.

— Sasho Nikolov

tecnicamente, há muitas razões pelas quais os resultados estão longe de P vs NP: os resultados são para uma codificação fixa de soluções de problemas como vetores e não descartam que uma codificação mais inteligente possa permitir formulações de polissização; Além disso, os resultados dizem que, para a codificação fornecida, todo LP compacto falha em alguma função objetiva, mas pode ser possível usar LPs diferentes para diferentes funções objetivas; finalmente, ainda temos limites inferiores essencialmente nenhuma explícitas contra SDPs, e depois há o método elipsóide que pode resolver LPs tamanho exponencial

— Sasho Nikolov

Há uma biblioteca chamada SMAPO (abreviação de biblioteca de descrições lineares de SMAlls instâncias de problemas de POlytopes na otimização combinatória) para muitos polítopos, incluindo o TVP simétrico e o TSP gráfico.

Para o STSP, esta é a lista do número de facetas para pequenos politopos

 Nodes in STSP  |  # of facets
----------------+--------------
       6        |         100
       7        |        3437
       8        |      194187
       9        |    42104442
      10        | 51043900866

— Stefan
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