Localizando o corte mínimo de um gráfico não direcionado

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Aqui está uma pergunta de um exame passado que estou tentando resolver:

Para um gráfico não direcionado com pesos positivos , estou tentando encontrar o corte mínimo. Não conheço outras maneiras de fazer isso além de usar o teorema de min-cut de fluxo máximo. Mas o gráfico não é direcionado, então como devo direcioná-lo? Pensei em direcionar arestas nas duas extremidades, mas qual vértice seria a fonte e qual vértice seria o coletor? Ou existe outra maneira de encontrar o corte mínimo? $G$ $w(e) \geq 0$

algorithms graph-theory

— Jozef
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Se você não tem origem e destino no gráfico original, acho que precisará tentar várias opções. (Para qualquer dado e , o corte mínima não pode separar os dois.)

s

$s$

t

$t$

— Raphael

Você está tentando encontrar o min-cut para determinados nós de origem e coletor ou o min-cut do gráfico?

— Peter

@ Peter: O corte mínimo do gráfico.

— Jozef

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Existem muitos algoritmos para encontrar o min-cut de um gráfico não direcionado. O algoritmo de Karger é um algoritmo aleatório simples, porém eficaz.

Em suma, o algoritmo funciona selecionando arestas uniformemente aleatoriamente e contratando-as com auto-loops removidos. O processo é interrompido quando há dois nós restantes e os dois representam um corte. Para aumentar a probabilidade de sucesso, o algoritmo aleatório é executado várias vezes. Enquanto faz as corridas, mantém o controle do menor corte encontrado até agora.

Veja a entrada da Wikipedia para mais detalhes. Para talvez uma introdução melhor, confira o primeiro capítulo de Probabilidade e computação: algoritmos aleatórios e análise probabilística de Michael Mitzenmacher e Eli Upfal.

— Juho
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Este é um algoritmo de aproximação?

— Strin

@Strin É um algoritmo aleatório que encontra o corte mínimo com alta probabilidade.

— Juho

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Não acho que o Karger's seja apropriado para encontrar um corte de peso mínimo. A derivação da probabilidade de encontrar um corte mínimo depende de encontrar um corte de cardinalidade mínima; É improvável que a Karger's encontre um corte mínimo com muitas arestas leves.

— Sumudu Fernando

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$(u,v, weight)$ $(u,v, weight)$ $(v,u,weight)$

... mas então qual vértice seria a fonte e qual vértice seria o coletor?

Não importa.

— Pratik Deoghare
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Por que isso não importa?

— The Coding Wombat

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O algoritmo Ford-Fulkerson deve funcionar para você. Você pode criar dois vértices falsos viz. a fonte e afundar.

Veja também o algoritmo Edmonds-Karp . Existem duas variações:

Uma versão escolhe o caminho mais curto
Outro escolhe um caminho com a capacidade máxima

, ao contrário de Ford-Fulkerson, que escolhe um caminho arbitrário.

Este é um bom recurso.

— ajmartin
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Bem-vindo ao cs.stackexchange! Pode ajudar o OP se você puder explicar melhor como os vértices falsos estão conectados ao gráfico existente. E quais serão os pesos das arestas?

— Paresh