Teorema de Parikh: os CFLs “contêm” idiomas regulares?

A primeira frase do artigo da Wikipedia sobre o Teorema de Parikh afirma:

"O teorema de Parikh em ciência da computação teórica diz que, se olharmos apenas para o número relativo de ocorrências de símbolos terminais em uma linguagem livre de contexto, sem levar em conta sua ordem, então a linguagem é indistinguível de uma linguagem comum".

Estou tendo problemas para entender esta frase. Entendo que CFLs unárias podem ser descritas como a união finita de muitas seqüências aritméticas. Isso significa que se aplicarmos um morfismo$h$ para algumas CFL $L$ que, digamos, mapeia $a \longrightarrow a$ e $c \longrightarrow \epsilon$ para alguns $a \in \Sigma$ e para todos $c \in \Sigma$ com $c \neq a$, então $h(L)$é uma linguagem regular unária? Alguém poderia elaborar isso?

A imagem de Parikh $\Psi$ de uma palavra é um vetor contando o número de cada uma das letras do alfabeto: por exemplo $\Psi( abbabaaca ) = (5,3,1)$ assumindo que o alfabeto é $\{a,b,c\}$.

A imagem parikh de um idioma é o conjunto de imagens parikh das strings no idioma: $\Psi( \{a^nb^nc^n\mid n\ge 0 \}) = \{(n,n,n)\mid n\ge 0 \}$.

O teorema afirma que as imagens parikh de linguagens livres de contexto são de fato imagens parikh de linguagens regulares, como exemplo $\Psi( \{( ab)^n c^n\mid n\ge 0 \}) = \Psi( (abc)^*)$.

(Em uma edição anterior, eu tive o exemplo $\Psi( \{a^nb^nc^n\mid n\ge 0 \}) = \Psi( (abc)^*)$. Tecnicamente correto, mas o leitor notará que a linguagem não é livre de contexto.)

Concordo que a redação da Wikipedia não é muito clara, mas acredito que se refira à seguinte relação:

Chame o equivalente em duas palavras, se for igual ao desconsiderar a ordem dos caracteres. Ou seja: classificar lexicograficamente seus caracteres (preservar duplicados) produz a mesma palavra. (Em outras palavras: as imagens do Parikh são as mesmas.)

Chame o equivalente a uma letra de duas línguas, se as palavras forem, ou seja: classificar lexicograficamente as palavras produz o mesmo idioma. (Em outras palavras: as imagens do Parikh são as mesmas.)

O teorema implica que toda linguagem sem contexto é letra equivalente a uma linguagem regular. Por exemplo,$\{ a^nb^n \mid n \geq 0\}$ é uma letra equivalente a $(ab)^*$.

(A letra da noção equivalente pode ser encontrada em, por exemplo, Uma prova simplificada do teorema de Parikh , por J. Goldstine (1977) .)