Resolvendo relação de recorrência

Quero provar que a complexidade do tempo de um algoritmo é polilogarítmica na escala de entrada.

A relação de recorrência desse algoritmo é $T(2n) \leq T(n) + T(n^a)$, Onde $a\in(0,1)$.

Parece que $T(n) \leq \log^{\beta}{n}$ para alguns $\beta$ depende de $a$. Mas não posso provar essa desigualdade. Como resolver essa relação de recorrência?

Eu só quero obter um polilogarítmico superior em n.

Seu palpite está errado. De fato, não é difícil mostrar que, assumindo$T(n) > 0$ para todos $n > 0$, então $T(n) = \Omega(\log^k n)$para todos $k$. De fato, para que isso ocorra, precisamos disso por tempo suficiente$n$ Nós teríamos

$$(1+a^k) \log^k n = \log^k n + \log^k n^a \geq \log^k (2n),$$ ou $\sqrt[k]{1+a^k} \log n \geq \log n + \log 2$, que dura enquanto $[\sqrt[k]{1+a^k}-1]\log n \geq \log 2$e, em particular, para grandes o suficiente $n$.

Qual é a ordem correta de crescimento de $T(n)$? Para tentar descobrir, escreva$S(n) = T(2^n)$. A recorrência agora se torna

$$S(n+1) = S(n) + S(an).$$ Para grandes $n$esperaríamos $S(n+1) - S(n)$ estar muito perto de $S'(n)$e, heuristicamente, esperaríamos que $S$ satisfazer $S'(n) = S(an)$. Essa equação parece um pouco difícil de resolver, mas uma solução aproximada é$S(n) = n^{\Theta(\log n)}$. Substituindo, deduzimos que a ordem de crescimento de$T(n)$ deve ser algo como $(\log n)^{\Theta(\log \log n)}$.